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courbe C s'exprime en fonction de ). sans quadrature. On trouve, en effet 

 (en choisissant convenablement l'origine des arcs), 



2'). + si!l(2l + 2.0 = O. 



» Ceci posé, soil C une courbe quelconque du plan des a-y. Désignons 

 par u la fonction de s, délînie par l'équation 



u ■+- sin*/ = 2s, 



et soil tp l'angle de l'axe des x avec la direction de la tangente au point 

 M(X, Y). Portons sur celle tangente un vecteur 



Mm = \ = - — s, 



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et soit P le |)oint de l'espace qui a pour projection rn et pour cote 

 (4) z.=t=^J'{i + cosu)d<f. 



» Le beu des points P est la courbe à torsion constante la plus générale. 

 » Remarquons que X, Y, x, y, :• s'expriment en fonction de u à l'aide 

 de la formule (4) et des suivantes : 



dQ = ■- e'^i I -+- cosw ) (lu, h = Q — - e'' siu //. 



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)) On en déduil une infinité de cas où l'on peut exprimer x, y, :; sous 

 forme complètement explicite à l'aide des fonctions élémentaires. Si, en 

 effet, 



o = mu, 

 ou bien si 



tangj=/(c), i'=tang^', 



f(v) désignant une fonction rationnelle de (», toutes les intégrations peuvent 

 être effectuées. Dans le ])remier cas, les projections des courbes sur le plan 

 des xy sont des courbes algébriques, si m est un nombre rationnel différent 

 de l'unité. 



)) I^es formules (2) et (3) permettent aussi de déterminer les courbes 

 algébriques et imaginaires à torsion constante, courbes qui jouent, comme 

 on sait, un rôle important dans la théorie de la déformation du parabo- 



