SÉANCE DU 2 NOVEMBRE (poS. 6g5 



loïde de révolution. Mais je ne développerai pas ici cette remarque, l'élude 

 de ces courbes ayant déjà été faite ( ' ). « 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermina /ion des classes singulières de 

 séries de Taylor. Note de M. Emile Bouei,, présentée par M. Appell. 



« l. Nous dirons que deux séries entières en s appartiennent à la même 

 classe lorsque les puissances de z dont les coefficients sont nuls sont les 

 mêmes dans les deux séries. Celte définition est un cas particulier de la 

 définition des classes de polynômes (-). Une classe de séries entières peut 

 être définie par une suite illimitée d'entiers positifs croissants : «,, n.,..., 

 /«,-..., qui sont les exposants des puissances de z dont les coefficients ne 

 sont [)as nids. 



» Nous dirons qu'une classe de séries est singulière lorsque ^ow^cf les 

 séries de cette classe admettent leur cercfe de convergence comme Usne sin- 

 guliére (ou, plus brièvement, sont singulières). Le but de cette Note est 

 d'indiquer un cas très étendu dans lequel on peut affirmer qu'une classe 

 est singulière (^). 



» 2. Nous donnerons le nom Absous-classe à l'ensemble des séries d'une 

 classe telles que les modules de leurs coefficients vérifient certaines inéga- 

 lités (les arguments restant arbitraires). La remarque suivante est fonda- 

 mentale : dans toute sous-classe, il y a une infinité de séries singulières. Cette 

 remarque se démontre comme la proposition connue : une série de Taylor 

 admet, en général, son cercle de convergence comme coupure. 



1) Nous dirons qu'une sous-classe est impropre lorsque les inégalités qui 

 la définissent ont la conséquence suivante : toute série de la sous-classe est la 

 somme d'une série appartenant à une classe moins étendue (ayant plus de 

 coefficients nuls) et d'une série ayant im ravon de convergence plus grand. 



» 3. Théorème I. — Pour qu'une classe soU singulière, il suffit que cette 



(') G. D.iRBOux, 7 Iléorie générale des surfaces (Note IV). 



(}) Voir mon Mémoire : Sur les séries de polynnmes et de fractions rationnelles 

 (Acta niat/iemalica, t. XXIV). 



(') Le i-ésullat le plus étendu obtenu jusqu'ici, ;i notre connaissance, est dû à 

 M. Fabry : une classe est singulière si la différe/ice ni+j — ni augmente indéfini- 

 ment aveci. Voir, pour l'historique de la question, et pour tous les renseignements 

 bibliographiques reiatifs à notre Note, le remarquable livre de M. Hadamard : La 

 série de Taylor et son prolongement analytique. 



