SÉANCE DU 2 NOVEMBRE igoS. 697 



pour I :; I = /• croisse moins vite à l'infini que e^'', quelque petit que soit le nombre 

 positif t. 



» Soit, en effet, ^{z) une fonction de la classe consiflérée, définie par 

 la lormule écrite plus haut ; nous supposerons que <i(=) a pour rayon de 

 convergence l'unité et appartient à la sous-classe définie par les inégalités 



|6,|<(log«,j-. 



» Dès lors, si nous posons 



nous pourrons affirmer que la série du second membre converge et que le 

 maximum M, (/■) du module de cj(:;) croît moins vite que e"', quel que soite; 

 donc la série 



n'admet (' ) sur le cercle de convergence que le point singidier + i ; cette 



série 't'(-) n'est aulre que la série '^(^z) complétée, avec conservation du 



rayon de convergence; la condition du théorème I est donc bien remplie. 



» 5. On verrait aisément que le théorème II entraine la conséquence 



suivante (^) : pour qu'une classe soit singulière, il suffit que le rapport -i^^ 



augmente indéfiniment avec i. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la théorie des ensembles. 

 Note de M. Erxst Lixdelof, présentée par M. Emile Picard. 



« 1. On doit à M. Borcl un théorème très général, relatif aux ensembles 

 fermés, qui peut s'énoncer comme il suit (^) : 



« Théorème I. — Etant donné, dans un espace à n dimensions, C„, 



(') Ce résultat est dû à M. Leau {Journal de Mathématiques, 1899, p. 393). Il a été 

 retrouvé par M. Georg Faber : Ueber Reihenenlwlckelungen analytisclier Func- 

 tionen {Inaugural Dissertation, Munich, 20 avril 1902), travail qui renferme d'ail- 

 leurs d'autres résultats nouveaux et intéressants. 



(-) Cet énoncé ne fait peut-être pas connaître le cas le plus étendu dans lequel une 



classe est singulière; il suffit peut-être que le rapport -4 prenne des valeurs dépassant 



tout nombre donné d'avance, ce qui n'exige pas que ce rapport augmente indéfini- 

 ment; mais c'est là un cas très singulier, au point de vue des applications. 



(') Cf. É. BoREL : Leçons sur la Théorie des fonctions, p. 42-43; une Note insérée 

 G. R., 1903, 2- Semestre. (T. CXXXVU, N" 18.) 92 



