6q8 ACADEMIE DES SCIENCES. 



un ensemble horné et fermé de points , (P), si de chacun de ses points comme 



centre on construit une sphère quelconque, on pourra choisir un nombre limite 



de ces sphères, de telle sorte que tout point P soit intérieur à. au moins, l'une 



d'elles. 



» Dans le cas d'un ensemble quelconque, fermé ou non, on pent établir 

 cet autre lliéorème, qui constitue une généralisation direcle <iu premier : 

 » Théorème II. — Soit (P) un ensemble quelconque situé dans l'espace C„ 

 et, de chaque point P comme centre, construisons une sphère Sp d'un rayon pp 

 qui pourra varier d'un point à l'autre; il est possible de choisir une infinité 

 dénombrable de ces sphères, de telle sorte que tout point de l'ensemble donné 

 soit intérieur à, au moins, l'une d'elles. 



» Nous nous contenterons d'indiquer en quelques mots la marche de la 

 démonstration. En supposant d'abord l'ensemble (P) borné et les rayons 

 Pp tous supérieurs à une longueur donnée p, on voit immédiatement qu'il 

 existe un nombre /«mue des sphères Sp répondant aux conditions requises. 

 Considérant ensuite le cas où, l'ensemble (P) étant toujours borné, les 

 rayons pp sont quelconques, on démontre le théorème en divisant (P) en 



ensembles partiels (P),, (P), (P\, ■■•• où (P)v renferme tous les 



points P tels que £,_, S Pp> Sv, lèse,, Jj, ..., s^, ... désignant des longueurs 

 qui décroissent vers zéro. Enfin, on remonte au théorème général en re- 

 marquant que tout ensemble, situé dans C„. peut être divisé en une infi- 

 nité dénombrable d'ensemble bornés. 



» 2. Les- théorèmes qui précèdent permettent d'établir très facilement 

 certains résultats qui, jusqu'à présent, ont été démontrés à l'aide des 

 nombres transHnis de M. Cantor. Ainsi, le théorème II fournit une dé- 

 monstration directe et tout élémentaire de la proposition fondamentale 

 suivante, due à MM. Cantor et Bendixsou : 



» Tout ensemble fermé non dénombrable situé dans l'espace C„. se compose 

 d'un ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable. 



» Je ferai d'abord remarquer que le théorème II entraîne, comme con- 

 séquence immédiate, ce lemme : 



» Tout ensemble (V) qui est dénombrable au voisinage de chacun de ses 

 points est un ensemble dénombrable. 



» Nous dirons que (P) est dénombrable au voisinage d'un point donné, 



dans les Comptex rendus du 4 mai igoS et mi Mémoire qui vient de paraître dans i« 

 Journal de Mathématiques {Contribution à l'analyse arithmétique du continu). 



