SÉANCE DU 2 NOVEMBRE igo3. 699 



si l'on peut entourer ce point d'une sphère qui ne renferme qu'un nombre 

 dénombrable de points P. 



» Cela posé, soit (P) un ensemble fermé et non dénombrable situé 

 dans l'espace C„; nous le |)artagerons en deux parties, (P) = (R) + (C), 

 où (R) comprend tous les points P au voisinage desquels l'ensemble (P) 

 est dénombrable, et (C) tous les autres points (P), qu'on pourrait appeler 

 les points de condensation de l' ensemble donné. 



» Du lemme ci-dessus on conclut immédiatement que l'ensemble (R) 

 est dénombrable. D'autre part, d'après la définition même de l'en- 

 semble (C), toute sphère ayant pour centre un point C renfermera une 

 infinité non dénombrable de points P et, par suite aussi, une infinité non 

 dénombrable de points C, ce qui montre que l'ensemble (C) admet chacun 

 de ses points comme point-limite. Qn voit d'ailleurs immédiatement que 

 tout point-limile de (C) fait partie lui-même de cet ensemble. Donc (C) 

 est bien un ensemble parfait, et notre démonstration se trouve ainsi 

 achevée (' ). 



» 3. De même, le théorème I conduit très facilement aux résultats de 

 M. Cantor relatifs à la mesure des ensembles (^). 



» Soient (P) un ensemble borné et fermé situé dans l'espace C„, Sp une 

 sphère de rayon pp ayant pour centre le point P, et n(pp, P) la partie deC„ 

 remplie par l'ensemble des sphères Sp. Je dis qu'on aura 



(i) limp=„n(?p,P)=liinf=„n(p,P). 



pourvu que les rayons pp tendent vers zéro avec p, de telle sorte qu'on ait 

 constamment pp < p pour tout point P. La valeur commune de ces deux 

 limites est ce que M. Cantor appelle la mesure de l'ensemble (P). 



n Pour démontrer l'égaUté (1), imaginons d'abord qu'on réduise à leurs 

 moitiés les rayons de toutes les sphères Sp. D'après le théorème I, on pourra 

 choisir un nombre limité p. des sphères ainsi obtenues, de telle sorte que 

 tout point P soit intérieur à, au moins, l'une d'elles. Soit s. le plus petit 

 parmi les rayons de ces y. sphères et désignons, d'autre part, par n^ la 

 partie de l'espace C„ remplie par les sphères primitives Sp correspondant 

 à ces (/. sphères. Tout point P sera intérieur au domaine U^ et aura une 

 distance minimum supérieure à s de sa frontière. 



C) Cette démonstration ainsi que celle du théorème II seront exposées en détail 

 dans le Tome XXIX des Acta niathemalica. 



C) Cf. p. 90-91 du travail de M. Schœnflies inséré dans Jaliresbericht der deul- 

 schen Malhemaliker-Vereinigung, t. VIIl. 



