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CORRESPONDANCE. 



GÉOMÉTRIE. — Sur la détermination des figures invariantes des transforma- 

 tions cycliques. Note de M. Rabut, présentée pur M. Haton de la Gon- 

 pillière. 



« J'ai fait connaître (') les équations générales des fignres invariantes 

 de la transformation j)olaire réciproque, et le procédé qui m'y a conduit 

 s'étend aisément à tonte transformation réciproque (ou dont la répétition 

 produit l'identité) sans autre restriction que la possibilité d'exprimer cette 

 transformation par des équations diflérentielles. 



)> Je me propose ici d'élargir bien davantage cette méLhode en traitant 

 le cas f'énéral d'une transformation cyclique, c'est-à-dire qui, opérée n fois 

 de suite, aboutit à l'identité. 



» Envisageons une telle transformation dans l'espace; elle se représente 

 par trois équations reliant un élément infinitésimal d'une figure (défini 



par les coordonnées x, r. z et les dérivées x' , /, x" , y" a?'", j" si cette 



figure est une ligne, ou p, q, r, s, t, . .. s'il s'agit d'une surface) avec l'élé- 

 ment transformé. Affectons ces quantités des indices i, 2, 3 n dans la 



figure primitive et ses transformées successives, l'élément n -h i étant iden- 

 tique à l'élément i. Convenons d'autre part, pour abréger, d'écrire 

 F(i, 2, ..., n — I, «) pour une fonction des quantités ci-dessus, relatives 

 aux figures successives 1,2 (n — \), n, contenant, en outre, des para- 

 mètres auxiliaires dont l'emploi va être justifié. 



M Une transformation cyclique peut toujours être caractérisée par un 

 système d'équations tel que 



F,(t, -2, ..., /) — I, n) =". F.d,?. «— i,/0 =0, ..., Fyt.(i, -2. ...,/! — 1, n) = o, 



F,(2, 3, .. ., rt, I) =0, F,(-2, 3, ..., /i, 1) = '->, •■., F/,(a, 3, ...,«, 1) =0, 



(i) '' F,(3, 4, •••, ', ■^) =0. F2(3, 4, ■■., I. 2) =«. -. F/,(3, 4, ••-, n, •^) = ". 



Fi(n, !,...,« — ■J,« — r) = o, F.j(n,i....,n--2,n~i) = o, ..., F/,(/j, i, ..., n— 2, n — i) = o, 

 contenant chacune, outre les coordonnées et dérivées relatives a l'élé- 



(') Comptes rendus, 17 juin 1901. 



