SÉANCE DU 9 NOVEMBRE lC)o3. 7^3 



ment i et à ses trasisforniés, des paramètres auxiliaires en nombre/. En 

 efîet, suivant la valeur du nombre n et celle de l'ordre m de ces équations 

 différentielles, on peut toujours choisir A et / de telle façon que l'élimination 

 des coordonnées et dérivées d'indice supérieur à 2, ainsi que des oara- 

 mètres auxiliaires, entre ces nk équations, en laisse subsister trois entre les 

 coordonnées et dérivées d'indices i et 2; ces trois équations résultantes 

 sont les équations différentielles de la transformation. 



» D'autre part, une figure de l'espace (ligne ou surface) admettant cette 

 transformation peut toujours être caractérisée en adjoignant à ces trois 

 équations un système de ny équations (i) où les fonctions données F sont 

 remplacées par des fonctions <î> contenant >, paramètres auxiliaires. On 

 peut, en eflet, choisir y et >. de façon çjue l'élimination des coordonnées et 

 dérivées d'indices >i, ainsi que des paramètres auxiliaires entre ces 

 ny + 3 équations, en laisse subsister deux ou une (savoir deux dans le cas 

 d'une ligne, une dans le cas d'une surface) entre les coordonnées et déri- 

 vées d'indice I. Ces deux équations résultantes, ou cette unique équation 

 résultante, représentent une ligne ou une surface invariante dans la trans- 

 formation considérée; en choisissant <I* arbitrairement, on obtient toute 

 figure jouissant de cette propriété. 



» Il ne reste qu'à indiquer comment on détermine, dans chacun des 

 deux cas, les nombres /c, l, y, 1. 



» Premier cas. — Transformations de lignes. — Le nombre des coordon- 

 nées et dérivées d'indice >• 2 est (2m + 3) (n — 2). Il faut donc que 



n/c = ('im + 3) l' n - - 2) + / -1- 3, 

 d'oîi 



, T j,in +q — l 



K = 2rn -r- :) — ■ 1 



n 



/ayant la plus petite valeur qui rende k entier. 



Le nombre des coordonnées et dérivées d'indice ^ i étant 



(2/n-f- 3)(n — i), 



la seconde condition à remplir est 



ny — (a/n -l- 3; (n — i) H- )^ -I- 2, 



