SÉANCE DU l6 NOVEMBRE IQoS. 779 



aux deux conditions : 



, \ p/ dz dz d-z d- z d'^z\ 



où F est analytique, et 



(2) 4f;,,.f;,^.-/f',,_. y>o, 



âjn- r)y- \ i).ri)y, 



elle est analytique. 



» Ce théorème remarquable a été démontré d'abord par M. Picard (') 

 dans le cas où F est linéaire (l'ordre de dcrivabilité connu pouvait d'ail- 

 leurs s'abaisser à deux). Par une intuition profonde, M. Hilbert a prévu 

 qu'il suffisait de supposer F analytique. Sous son influence, M. Lulke- 

 meyer, dans sa Thèse soutenue en 1902, et M. Holmgren {Math. Annalen, 

 1903) reprirent la méthode de M. Picard et établirent le théorème en 



question pour F = ^ + ^ -/(•^. J. z. ^^, ^) = o (/ étant analy- 



dy"" •' V '^ ' "^^' àx dy , 

 tique). En complétant convenablement la môme méthode, je suis parvenu 

 à une démonstration générale. 



» Soit F(a:T) = ^ ^ A^,^x^(R — .r)'. Si ce développement converge 

 absolument et uniformément pour o<.r<R, nous dirons qu'il est normal. 

 La série f{x) = ^ ^ ap^x^iy^ — xy sera une série maximale de F(a:), 

 si a^y J I kj,^\. On peut écrire aussi 



F(^) = 2 P/R - xy et fix) = 2 ;,^(R _ ^)7. 



où F et ^ sont des séries de Taylor ordonnées par rapport à l'origine. Soit 

 My>yo^(R — xy lorsque o^x^R. Nous dirons que 



M = M„ + M.^ + ...-^M,(^)V... 

 est une valeur maximale de F{x) à l'intérieur du contour For,, formé par 



(') Journal de l'École Polytechnique, 1890, et Acta matheniatica. t. XXV. Le 

 même théorème a été démontré par M. Picard pour certaines équations linaires d'ordre 

 supérieur au second {Coinples rendus, t. CXXI, iSgS). 



