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la partie gauche de la circonférence C de ravon rayant le centre en O el 

 les deux tangentes menées du point \\ an centre C. L'ensemble des valeurs 

 maximales correspondant à tous les développements normaux sur OR 

 de F(x) a une limite inférieure que nous appellerons valeur minimaxi- 

 male de F(x) à l'intérieur de Ton,, et que nous désignerons par [F(ï)Ji., . 



» SoitF(j:-/) = F(rcosO, r<,inl)')— "y A„cos«0 + B„sinn'). Nousdirons 

 que ce développement est normal, si A„ = /" V V (;,"^/-/'('R'- — /■-)'/, 

 B„= r" ^ y D "'/■-/'( R' — /'^y sont normaux sur OR et si «„ et b„ dési- 

 gnant des séries maximales de A„ et B„ la somme Va„-l- b„ converge uni- 



formément sur OR. 



» On posera, en outre, | i■'(xy)]J^,. = 1(A„\.,^ (Pj„\,- qu'on appellera 

 valeur minimaximale de F(xy) à l'intérieur du contour r,,,.,,. 



1) Lemme 1. — Une fonciioa analytique de deux variables réelles x et y 

 régulière à l'intérieur d'un cercle C de rayon R est développable en série 

 normale. 



» Lemme 2. — Sait ¥[o,(xy), o,(xy), . . .,oJxy)\ une fonction ana- 

 lytique de m variables dont chacune est une fonction de x, y susceptible d'un 

 développement normal sur OR. F sera aussi normal sur OR et, en désignant 

 par fia série des modules de F, on aura 



\V[o,(xy) '^^{xy). . .][^,.<f[o,( xy)l,.\o,i xy)\,,,.. . .',. 



» Lemme 3. — Si une fonction F(xy) adnuH une valeur maximale finie 

 à l'intérieur de r^RR., elle est analytique pourb réel el r situé à l'intérieur 

 de ToRH'. e' ^^ valeur sur Torr est donnée par le développement normal corres- 

 pondant. 



1) Ceci posé, en vertu de l'hypothèse 4F,,,. F^^,. — f^' ,y.- \"> o, il est 



ô.v- (ly \ Ox OyJ 



possible d'effectuer un changement de variables linéaire et homogène à 

 coefficients réels qui ramène l'équation générale à la suivante 



é"-z , ô-z J , Oz. dz à'-z ù-z d-z\ 



(i bis) ^ -+- d^. =/(^.J'. 2' ^' Ty' à^-' TuFdJ'' dfO' 



/étant analytique et telle qu'à l'origine, c'est-à-dire pour x=y = u. 



