SÉANCE DU 2'^ NOVEMBRE ipoS. 83ç) 



de son développement », par M. Ernst Mach; traduction française par 

 M. É. Bertrand. (Présenté par M. Emile Picard, j 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les équations fonctionnelles et la théorie 

 des séries divergentes. Note de JM. L. Fe.!Ek, présentée par M. Ém. 

 Picard. 



« La théorie des séries divergentes peut être utile dans la résolution de 

 quelques équations fonctionnelles classiques; c'est ce que nous nous propo- 

 sons de montrer, 



■» 1. Prenons l'équation 



(i) A,/ a; + 1) + '}/,(■'') = '^*- 



Il est bien naturel de partir de la série 



.2*— Cr -+- !)'■ + (.(■ + 2)* — . . . 



qui satisfait formellement à (t). Elle est divergente pour toutes valeurs 

 de X, mais sommable dans le sens de M. Borel, et la somme Çun polynôme de 

 degré k) satisfait à l'équation (i). En effet, l'intégrale 



" 1 n = (l J ~" L"=" J 



a un sens quel que soit x. Pour le montrer, remarquons que 



où les fonctions ^..^(j) (v = o, i , 2, . . . j se déterminent par la relation récur- 

 rente 



(2) lo(r) = e--, XX=-) = z'!^^^^ (v = .,2,3 ^.), 



et, par suite, 



\{z) = e-^l>..{z), 



/>^(s) désignant un polynôme de degré v. La convergence est donc prouvée. 

 Si l'on pose 



(3) C.,= f e-'l.,( = )dz (v = o,i,2,3,...\ 



