8'|0 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



on obtient 



(4) j'A-(^-)=;v(f)-c,x'*-^ 



)) On voit aussi facilement, a priori [c'est-à-dire sans employer la 

 forme (4)]. q"^ "hi^ix^ est vraiment nne solution cle_(r). Les nombres 

 rationnels C^, analogues aux nombres de BernouUi, se déterminent aussi 

 d'une autre façon. 



)) Cherchons d'abord la fonction génératrice $(;-. /) des fonctions ).v(-); 

 <i> satisfait, \y.\v suite de (2), à l'équation 



ei* _ ^^'j- 

 ^dz " ài 



avec la condition intiale $(3, 0)= e'. On trouve par intégration 



4)(:,/)==e-'''. 

 Donc 



Les premiers C^ ont pour valeur 



r ' (' ' {• — ' r — '" r — ^' r — ^9' 



C„ = -' Cj, = o (v = 1 , 2, 3 ). 



Comme il n'existe qu'un seul polynôme satisfaisant à (i), les 



•hki^) (^ = o, T, 2, .. .) 



coïncident nécessairement avec les polynômes deiinis parla fonction gêné- 

 ratrice -, ■} dont certaines propriétés et applications intéressantes ont été 



données par Hermite (^Journal de Crelle. t. 1 16). 



» 2. Cherchons la solution de l'équation fonctionnelle 



(6) ./l-^ + ')-/(-^)=7:b- 



En désignant par ' «(îp) (n= 0,1, ?, ...) les polynômes de Bernoulli, la série 



(7) ?u(^-)— ?<(-^)+?:i(^)~--- 



