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fonctions p et y «in série de Taylor 



(i) /K-^'.r) = 21^"- 'i(^^y)-^-^['-n^ 



les A„ et [j.„ étant des polynômes homogènes. 

 » On sait que 



les M„ ne dépendant que (kl point (a;o,j'„), d'où l'on conclut que l'ensemble 

 des deux développements (i) converge dans un cercle ayant le point 

 (a;„, r„) pour centre : c'est le cercle de convergence de /(^) au point z^y. 



» On peut se demander si cette propriété des fonctions analytiques pour- 

 rait être généralisée. D'une façon précise, la question peut être posée de 

 la manière suivante : 



» Trouver un système de trois fonctions u, r, w des variables réelles x, 

 y, z tel qu'en développant chacune de ces fonctions, autour d'un point 

 régulier {x^,, y„, z^), en série de Taylor 



(2) M = Vo^,^, '' = ^'^"'- «"="^7."" 



on ait 



(3) ?;,-^^:, + z:,= nM(^-^")' + 0'-J.)=-^(^-=o)1^ 



les II),,,, <L„,, /m étant des polynômes homogènes de degré m et les H,„ ne 

 dépendant que du point (a:,,, /„, s^). Il s'ensuivrait que le système (2) 

 converge dans une sphère qui serait, dans l'espace, l'analogue du cercle 

 de convergence des fonctions analytiques. 



» La recherche des fonctions u, v, w peut être faite d'une façon régulière. 



» En prenant dans les développements (2) les termes de premier degré, 

 et tenant compte de la condition (3), on obtient le système d'équations 

 que voici : 



(£)'-(0-(£)'=(l)'-($^)'-ff /=(")"-•■=";■ 



du du dv di' (hr d^v 



da: dj dx dy dx dr 



du du dv df dtv (h^ 



dJ' d^ '^ dJ- d~z ^ dr dz — "' 



du du dv <h^ (hr (h^ 



dz dr àz dx dz dx 



