Q02 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Prenons, pour lignes coordonnées sur S et S', les lignes asymptotiques; 

 dans ces conililions : 



(4) A„+wB„=/„(«). K„-mV.„--=gn{v) (a^ = 1,2,3). 



et l'on peut supposer les variables u et f choisies de manière que 



df]+dfl+flfl^du-, dg\^dgl + dg\=dv\ 



Supposons maintenant qu'il s'agisse de déterminer la surface W passant 

 par une courbe donnée C et admettant en cliaque point M de cette courbe 

 une normale donnée. 



» Remarquons d'abord qu'au point M, on peut déterminer, en général, 

 les valeurs de R et R, et, par suite, les points de contact m et m, de la nor- 

 male avec les deux nappes de la développée. Il suffit pour cela d'utiliser 

 la relation donnée entre R et R, et une relation de la forme 



aRR, -+- /^(R 4- R,) + e = o, 



obtenue en exprimant que les plans tangents en m et w,, à la surface 

 réglée des normales, sont rectangulaires. Ces deux plans tangents et le 

 plan tangent à la surface W au point M déterminent complètement le 

 trièdre lié au point M de la surface W. On peut donc, en chaque point M 

 de la courbe C, calculer (fl„, b„, c„) en fonction de la variable t, qui fixe la 

 position du point M. Il résulte de là qu'on pourra aussi calculer A,, Ao, A^, 

 R,, B,, B3 en fonction de t, à l'aide des formules (2), qui sont fondamen- 

 tales dans la tliéorie actuelle. 



M Les formules (5) font alors connaître par quadratures les expressions 

 de u et V en fonction de t, 



et, par suite, aussi les expressions de/,, /,,./; en fonction de u et celles de 

 g'., gi' S^ en fonction de c. Le problème proposé peut donc être consi- 

 déré comme résolu. 



» L'indétermination du problème correspond au cas où les expressions 

 de/,,/,,/;, ou de g^, g.,, g^ en fonction de t se réduisent à des constantes. 



C) Les expressions dx, dx^, ... en fonclion de /"„, g„, sont connues et ont été don- 

 nées par M. Darboux {Théorie générale des .<ti/r/nrf'.<;. t. IV). 



