SÉANCE DU 3o NOVEMBRE 1903. go5 



philosophique ni l'importance réelle des profondes conceptions de 

 M. George Cantor, dont l'influence sur l'évolution des matliémaliques 

 dans le dernier quart du xix* siècle a été, comme l'on sait, des plus consi- 

 dérables; cette influence subsistera tant qu'il y aura des analystes, môme si 

 certaines formes particulières données par M. George Cantor à sa pensée 

 ne conservaient un jour qu'un intérêt historique. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d' équations fonctionnelles . 

 Note de M. S. Lattes, présentée par M. Painlevé. 



« 1. La substitution 



(i) X=:/(.r,j,/), Y=<p(.r.v./) (/=g 



fait correspondre à toute fonction y = '\i(x) une fonction Y de X, qui sera 

 dite la conséquente de 'hCv). Réciproquement, à une courbe Y=i]/(X) 

 passant par un point P correspond une antécédente passant par le même 

 point : c'est l'intégrale de l'équation différentielle 



qui passe par P. 



» Si les antécédentes successives <\it(.v), '^^{x), ..., 4'«(*') d'une fonc- 

 tion «j'oC^) ont une limite 'J'(a;) pourn infini, si cette limite a une dérivée '^' {oc) 

 et si <!^n{x), 'l'l(^) tendent uniformément vers leurs limites dans un certain 

 domaine, cette limite vérifie l'équation fonctionnelle 



» La limite des conséquentes, lorsqu'elle existe, vérifie la même équa- 

 tion; mais à une courbe définie dans un certain domaine correspond une 

 conséquente située dans un domaine distinct du premier; nous nous limi- 

 terons à l'étude des antécédentes, qui peuvent, au contraire, être définies 

 dans un domaine commun. 



» 2. Soit x^, Va, yl un élément double de la substitution, c'est-à-dire un 

 élément vérifiant les équations 



■^0 = /(■•r„, 7„. 7I), .v„ = ? (x„y„, X). 



» On peut toujours supposer a;o=.Ko=J'ô = <> et ramener la substi- 



