gOÔ ACADÉMIE DES SCIENCES, 



tution (i) à la forme 



X = ax-h by-\- c / + F (,-r, y, y'). 



(3) , 



(Y = Acc + By-+-Cy'-h^(a;,y,y), 



F et $ étant des fonctions qui auront des dérivées partielles du premier 

 ordre continues dans le domaine de l'origine et tendant vers o avec x,y,y'. 



» Les antécédentes successives sont définies dans le voisinage de l'ori- 

 gine et tangentes à Oa; en O. Il faut chercher à quelles conditions \l existe 

 un intervalle de convergence commun à toutes les antécédentes et à quelles 

 conditions '\i„(^^) et '\>'„ (x) tendent uniformément vers des limites dans cet 

 intervalle. 



» A ce sujet, j'ai établi la proposition suivante : 



» Sous les conditions C^o et " — ~^ I < ' , '^ existe un domaine — h, 



-+- h dans lequel toutes les antécédentes sont définies, et dans ce domaine <\i^(x), 

 '^'„{oe) tendent uniformément vers des limites. La fonction initiale '\i{x) est 

 une fonction nulle pour a; = o, ainsi que sa dérivée et vérifiant dans le domaine 



— h, -\- h l'inégalité •]!' ( x) -h t^ x <^d\ x\, d étant un certain nombre posi- 

 tif fixe qui ne dépend que de la substitution. La limite est indépendante de la 

 fonction initiale. 



» Pour démontrer ce théorème, je résous la deuxième équation (2) par 

 rapport à y' : 



y = 7^ (a?, y, Y) = — ç-r — çj V + g Y -+- 



» L'antécédente de ^{x) est définie par l'équation différentielle 



y' = 'k\cc,y,ii{f{x,y,y')\\. 



» Intégrons cette équation par approximations successives en rempla- 

 çant le second membre j par une fonction j,, vérifiant l'inégalité 



, A 



y. + c^ 



<d\x\ 



Le premier membre donne J2 par quadratures. On démontre quejo, y^, ... 

 vérifient la même inégalité dans un domaine suffisamment restreint, que 

 les approximations convergent et que la limite de y,„ c'est-à-dire l'antécé- 

 dente de '\i, vérifie encore la même inégalité. 



