SÉANCE DU 3o NOVEMBRE IpoS. 907 



» C'est dans cette démonstration qu'intervient l'hypothèse 



«C — cA 



C 



<i. 



Le domaine ~ h, -\- h dans lequel l'antécédente remplit ces conditions ne 

 dépend que des données, c'est-à-dire de la substitution (i). On se retrouve 

 alors dans les mêmes conditions qu'an début pour passer de la première 

 antécédente à la deuxième et l'existence d'un domaine de convergence 

 commun à toutes les antécédentes est établie. 



» Pour démontrer que la suite des antécédentes a une limite, je dé- 

 montre que si l'on a | '^, — J^^ I <C '^' ori 6" déduit 



I <]/, - ^, |< KrJl, 



K étant une constante positive ne dépendant que de h et des données. On 

 déduit de là 



l'!'.-<!'.^.|<(K/0'''- 



» En se servant de la forme explicite de K, on constate que KA est infé- 

 rieur à I si A est suffisamment petit, ce (pii démontre la convergence uni- 

 forme de la série i;(4'n — 4'n+i )• ^" démontre de même que la série 



2(+;.-f„.,) 



est uniformément convergente. 



» 3. En un élément double x„, y„, v,,, la valeur de p est 



[?/]o 





cela résulte du chansiement de variables. 



» Dans le cas d'une transformation de contact, on a 



aC — cA I 



La condition 



<^ r est donc vérifiée par tous les éléments 



G 



doubles, éléments dont les points constituent, en général, une courbe C, 

 Par tout point P de la courbe C passe donc une solution C de (2) qui peut 

 s'obtenir comme limite d'antécédents; mais on constate que cette courbe C 

 a pour conséquente le point P (et les éléments de droite passant par P); ce 

 point P étant sur la courbe C, celle-ci est bien une solution de l'équa- 

 tion (2), bien que ce ne soit pas, à proprement parler, une courbe inva- 

 riante par la substitution (i). On voit aisément que la courbe C peut 



