SÉANCE DU 7 DÉCEMBRE igoS. 967 



rables, tels que la mesure de chacun d'eux ne soit pas inférieure à r,, les points 

 communs à une infinité d'entre eux forment un ensemble dont la mesure n'est 

 pas inférieure à <7. 



» On peut déduire, en pnrticiilier, de ce théorème que la propriété pour 

 une fonction d'être continue en excluant des ensembles démesure aussi petite 

 que l'on veut se conserve à la limite, c'est-à-dire appartient à la fonction 

 limite (supposée existante) d'une suite quelconque de fonctions qui la pos- 

 sèdent. Cette propriété appartient, par suite, à toutes les fonctions définies 

 jusqu'ici. Sous cette forme, cette remarque est équivalente à la proposition 

 suivante, encore inédite, qne me communique M. Lebesgue : Toute fonc- 

 tion mesurable est continue en chacun de ses points, sauf pour un ensemble 

 de points de mesure nulle, aux ensembles de mesure nulle prés. 



» En terminant, je dois signaler que la représentation simple, comme 

 limite de fonctions continues, d'une fonction discontinue telle que l'en- 

 semble P de ses points de discontinuité est dénombrable a été obtenue par 

 M. Lebesgue ('). Dans ma Note du 3o novembre, j'ai traite seulement le 

 cas où P est réductible; j'avais d'ailleurs surtout en vue de montrer com- 

 ment l'introduction des nombres transfinis pouvait être évitée dans une 

 question où, à un certain point de vue, elle aurait pu paraître nécessaire. 

 M. Lebesgue m'informe qu'il possède une démonstration sans nombres 

 transfinis du théorème général de M. Baire; c'est là un résultat dont l'im- 

 portance n'échappera à aucun géomètre; j'espère que celte démonstration 

 sera bientôt publiée. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Généralisation d'un théorème de Lanuerre. 

 Note de M. A. Auuic, présentée par M. Jordan. 



« Laguerre (t. [, p. 109) a démontre d'une manière tout à fait élémen- 

 taire une importante proposition, déjà indiquée avant lui par Hermite et 

 Biehler. 



(') .S'(//- l'approxiination des fonctions {Bulletin des Sciences inattiéniatiqties, 

 novembre 1898). D'après une lettre que m'écrit M. Lebesgue, iiy a lieu, dans la partie 

 de cette Note où il est question de points de discontinuité, de désigner par x^, j-,, 

 T», 0-3, . . ., non seulement les points de discontinuité, mais les extrémités des inter- 

 valles de continuité (forcément dénombrabies en tout cas). 



