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» Celte proposition est la suivante ; 



» Si une équation 



F(s) -^i^V(z) = o 



a toutes ses racines situées d'un même côté de Vaxe des abscisses, /'équation 



pV(z.) + q^(:-)^o, 



dans laquelle p et q sont des nombres réels arbitraires, a toutes ses racines 



réelles. 



» Je me propose de généraliser cette proposition et de démontrer que : 

 1) I^orsqu'une équation de degré /? 



F(;) + i<l>(s) = o 



a toutes ses racines imaginaires, dont /.(kin - k) situées d'un même côté 

 de l'axe des abscisses, l'équation 



pY{z) + q^\'{z) = 



a au moins n — y.k racines réelles. 



» Et, réciproquement, si cette dernière équation a n — ik racines 

 réelles, l'équalion proposée dont, par hypothèse, toutes les racines sont 

 imaoinaires, en a au moins k d\m même cùlc de l'axe des abscisses. 



» I.a démonstration est très simple. 



» Posons 



F(r) + .a>(=) = Aj|f^, + ?,/-^). 



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» Parmi les [i,. Ions ^ o par hypothèse, k ont un signe dclcrminé, et 

 n — ^ le signe contraire. 



). Faisons parcourir à la variable :■ l'axe des abscisses, depuis —te 

 jusqu'il +CC, et étudions l'argument du produit 



n 



» Cet aro-ument varie d'une manière continue. 



.) Pour - = — =c, chacun des'« facteurs a, à la limite, un argument égal 



à zéro, de sorte que l'argument des produits est également nul à la limite. 



» Lorsque s varie de — ^d à + ^, l'argument de chaque facteur aug- 



