SÉANCE DU I '( DÉCEMBRE T9o3. Io3î 



'j.„. de façon que la somme S, X, -+ . .-|- S„X„ commence par un terme de 

 degré u., + [/...-h. . .-h [J.,, -i- ri — i . 



» Il en a donné une- solution très simple dans le cas où les S,- sont des 

 exponentielles e"'', mais il ne semble pas que l'on ait résolu depuis le pro- 

 blème pour d'autres catégories de fonctions. 



» Je me propose d'indiquer une solution très simple du même problème, 

 lorsque toutes les fonctions S, sont de la forme (i — .v)"; pour fixer les 

 idées, je supposerai le nombre des S, égal à trois, et je prendrai 



» Rappelons d'abord quelques résultats (') empruntés à la théorie des 

 fonctions hvpergéomélriqiies du troisième ordre. On appelle série hyper- 

 géométrique du troisième ordre la série 



^^^ \b^, b.„ .r ) ~~ ^ {i.m)(b^.m}(b,.m) ' ' 



où (\.m) représente le produit X(a+ i). ..(>. + to — i). Celte série se 

 réduit à un polynôme si l'un des nombres a,, a^. «3 Pst un entier négatif, 

 sans qu'aucun des nombres b,, b^ soit un entier négatif. Nous désignerons 

 ce polynôme par 



'«,. 17,, r7.j'> 



» T.a fonction F satisfait à une équation différentielle linéaire du troi- 

 sième ordre de la forme 



A, B, C, D, E étant des constantes dont il serait facile d'avoir l'expression. 

 Si aucun des nombres b,, b.,. b, - h., n'est entier, l'intégrale générale de 

 l'équation (2) est représentée, dans le domaine de l'origine, par la formule 



X 



I -f-i,,a; -ty 2-/',, b, + \-b,, X j 



C, C,, c, étant des constantes arbitraires. 



(') Annales de l'École Normale supérieure, t. XII, 1' série, p. 278. 



