Io3i ACADÉMIE DES SCIENCES. 



)' Supposons maintenant que l'on prenne 



a, = — 'X, a., = ~ m — jj.. rt':i = — « — v, 

 h^ = j — m, h., = I — /;, 



>., [j., V. étant trois entiers positifs et aucun des nombres m, n, m— n, 

 n'étant un nombre entier. 

 » La formule (3) devient 



G), Op., Gv étant trois polynômes d'un degré marqué par leur indice. 

 La nouvelle formule (4) représente l'intégrale générale de l'équation 

 linéaire (2) correspondante dans tout le plan de la variable complexe a;. 

 On'voit que celle intégrale n'admet qu'im seul point singulier véritable, le 

 point a: ^ o. iVIais le point a; := i est pour cette équation un point à appa- 

 rence singulière, et les racines de l'équation déterminante fondameniale 

 relative à ce point sont 0,1 et è, 4- ^2 — {a^ -^ a., + a^) on 1 -+- [7. + v + 2. 

 On peut donc choisir les constantes G, G,, C^, de telle façon que le déve- 

 loppement de l'intégrale J' suivant les puissances de i — a; commence par 

 un terme de degré 1 + tj. -i- v + 2. En changeant x en i — x dans celle 

 intégrale, on voit que le développement de 



/_ >,. _ ,„ _ ,,, _ „ - v\ ^ r ,n -l,- ,., „, - „ 



m, 1 — />, 1 - .r I ^ ^ \ni + i , m — /« + i , i — a 



\'n -\- i , m — n + \ , i — x 



suivant les puissances de x commencera par un terme en x'-*^"'''*'- . Les po- 

 lynômes G;, G,;^, G^ donnent donc une solution du problème d'Hermite. 



» Il est clair que la mélhode°peiit être étendue à un nombre quelconque 

 d'expressions (r — a?)"'', (^i — x)"'--, . . ., (1 — .r)"V, pourvu qu'aucun des 

 nombres w,, 7/2, — m^ ne soit entier. Dans le cas oiip ^ i, la solution que 

 l'on obtient paraîl, au premier abord, (iiiférente de la solution que l'on 

 doit à M. Padé pour ce cas particulier (^Comptes rendus, l. (^XXXH, |). 754), 

 mais il est facile de vérifier l'identité des deux formules. 



