1228 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



E. ChAJIBOX, g. CiI.VVANNE, .1. CoM.ET, L. FÎAXIEI,, H. DoJIlXICI, (il.OVER. 



E. Goi.DSTHiN, A. Gcxïz, Vir.TOil llKxiii. ïîoKPirAUER, LuciF.x La«;kiffe, 

 In comtesse M. vox Lixdex, E. Loxr.o. 1\. Maire, Mauchis, i^loxpuoFiT, 



F. DE MoXTESSrS DE OalLORE, M"'" votive IVePVIX, p. PlOAnD, Iîerxard 



Rexault, Eue. SiMox, Svex Hedix, Léon TEissEnExc de Bort, il. -G. 

 Zeithex adressent des remercîments à l'Académie poin- les distinctions 

 dont leurs travaux ont été l'objet dans la dernière séance publique. 



M. le MixisTRE DE i,'ïxstrlT.ïiox pjtbuqle transmet à l'Acatlémie une 

 Lettre du Vice-Consul de France à Roustchouk, relative à un tremblement 

 de terre qui s'est fait sentir, en Bulgarie, le 27 novembre dernier. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une propriété ries fondions. Note de 

 M. II. Lebesgue, présentée par M. E. Picaril. 



« Dans une Note des Cotnptes rendus (7 décembre tqoS), M. Borel a 

 signalé une propriété appartenant à toutes les fonctions qui ont été définies 

 jusqu'à présent. Comme Ta dit M. Borel, j'avais rencontré cette propriété 

 sous une forme un'peu différente. 



» Je dis qu'une fonction/(a;) est mesurable si, quels que soient a et b, 

 l'ensemble des valeurs de .r, pour lesquelles on a a <^/(x)<^ b, est mesu- 

 rable. Les fonctions continues sont mesurables. La limite d'une suite con- 

 vergente de fonctions mesurables est mesurable. Je ne sais pas s'il existe 

 des fonctions non mesurables; les fonctions actuellement connues sont 

 toutes mesiu'ables. 



» J'ai démontré, dans mon cours du Collège de France, que toute fonc- 

 tion mesurable bornée est la dérivée de son intégrale indéfinie, sauf pour 

 des valeurs de x formant au plus un ensemble de mesure nulle. Cela résulte 

 d'une propriété que j'ai démontrée incidemment sans l'énoncer : Si /(j") 

 est mesurable, il est possible, sauf si x appartient à un certain e/iscrnble de 

 mesure nulle, de trouver un inten-alk («., p) comprenant jc cl dans lequel on a : 



|/(.r')-/(.r)|<3. 



sauf pour des imleurs de x' appartenant à un ensemble de mesure i^i.'v' ~' "-)'■> 

 et cela quels que soient e, et i.,. Si l'on adopte les idées de M. Baire (') rela- 



( ') Sur les fondions de variables réelles {A/inati ili Matct)iatic(i. 1900). 



