SÉANCE DU 28 DKClCMHIli; 19OJ. I2a() 



livemeiil à la définilion du maximum et du minimum d'une fonction quand 

 on néglige une certaine classe d'ensembles, on pourra dire que, sauf pour les 

 points d'un certain ensemble de mesure nulle, toute fonction mesurable est 

 continue quand on néglige les ensembles de mesure t, z étant aussi petit que 

 l'on veut ('). 



» On passe facilement de cet énoncé à celui de M. Borel, de sorte que 

 toute fonction mesurable jouit de la propriété de M. Borel ; d'ailleurs toute 

 fonction qui jouit de cette propriété est évidemment mesurable, c'est une 

 propriété caractéristique des fonctions mesurables. 



» Quand on veut démontrer seulement que les fonctions actuellement 

 définies jouissent de la propriété de M. Borel, il suffit, comme le fait 

 M. Borel, de remarquer que cette propriété appartient aux fonctions con- 

 tinues et qu'elle se conserve à la limite. Ce dernier fait est une conséquence 

 immédiate d'une propriété presque évidente et très générale que j'ai déjà 

 eu l'occasion d'appliquer à l'intégration terme à terme des séries à restes 

 bornés (-) : Lorsque ion a une série convergente de fonctions mesurables, quels 

 que soient s, et i.,, on peut toujours trom'er n assez grand pour que l'ensemble 

 des valeurs de x, pour lesquelles certains des restes d'indices supérieurs à n sont, 

 en valeur absolue, supérieurs à e,, soit de mesure inférieure à i.,. De sorte 

 que : toute série convergente de fonctions mesurables est uniformément conver- 

 gente quand on néglige certains ensembles de mesure s, i étant aussi petit que 

 ion veut. 



n La propriété qu'a remarquée M. Borel est susceptible d'une autre 

 forme qu'il est souvent commode d'employer pour étendre aux fonctions 

 mesurables des théorèmes vrais |)onr les fonctions intégrables : Toute fonc^ 

 tion mesurable f ne digère d'une certaine fonction intégrableo, qu'aux points 

 d'un ensemble de mesure t aussi petite que l'on veut. Si f est bornée et 

 comprise entre/et L, on peut prendre «p^ comprise entre ces mêmes limites; 

 lorsqu'on opère ainsi, l'intégrale de <pe tend vers celle de/quand i tend vers 

 zéro. Cela donne un procédé permettant de définir facilement l'intégrale 

 des fonctions mesurables bornées. En se servant de la propriété relative 



(') Mais non niil; l'énoncé que j'avais donné à M. Borel est Inevacl, Les ensembles 

 que l'on'néglige ne sont pas de mesure nulle, mais, si l'on veut, de densité nulle au 

 point considéré. 



{-) Voir ma Thèse Intégrale, longueur, aire {Anncdi di Malematica, 1902), 



p. 29. 



C. R., i9o3, 2- Semestre. (T. CXXXVtl, N» 86 ) '^' 



