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aux séries on voit directement qu'il est applicable à toutes les fonctions 

 bornées actuellement connues ( ' ). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations linéaires aux dérivées 

 partielles. Note de M. J. Le Roux, présentée par M. E. Picard. 



« M. Hadamard a donné, dans une Note récente des Comptes rendus, 

 d'intéressantes propriétés des intégrales des équations linéaires aux dérivées 

 partielles du deuxième ordre. Ces propriétés peuvent s'étendre, au moins en 

 partie, aux équations d'ordre supérieur. J'ai fait dans ma Thèse (Paris, i8g4) 

 une étude détaillée des singularités accidentelles pour les équations du 

 deuxième ordre à deux variables indépendantes, en me basant sur une cer- 

 taine représentation analytique des intégrales, obtenue par une généralisa- 

 tion de la méthode de Riemann. J'ai montré ensuite comment la même 

 représentation analytique, et par suite la même méthode, pouvait s'appli- 

 quer aux équations d'ordre supérieur à deux variables indépendantes 

 {Journal de LivmUle, 1898) et aux équations à plusieurs variables, d'ordre 

 quelconque {Journal de Liouville, igoo). 



» Si l'on prend, par exemple, les équations linéaires à trois variables 

 indépendantes, les solutions pouvant être représentées par des intégrales 

 doubles de la forme 



//^ 



'/(a, ^)u{x,y,z,x,\t)da.d^, 

 plus des intégrales simples et des solutions particulières en nombre limité. 



(') Dans une Noie des Comptes rendus (3o uov. 1908), M. Borel a indiqué que, dans 

 mes Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, se trouve une 

 démonstration du théorème de Canlor-Bendixon. Je me permets de compléter ici cette 

 indication. 



Le théorème dont il s'agit comprend deux parties : 



I. Tout ensemble J'erméE est la somme d'un cnsc/iible par/ait E^ et d'un ensemble 

 dénombrablc Ej. 



II. V^^ est l'un des dérivés de E. 



La démonstration (|ue je donne de la propriélé 1 est identique à celle qu'a indiquée 

 M. Lindelôf dans les Comptes rendus du 2 novembre igo3; je n'y emploie pas le 

 langage des nombres Iransfînis. Mais, pour la propriété II, que ne démontre pas 

 M. Lindelôf, il est indispensable d'avoir la notion générale de dérivé, c'est-à-dire celle 

 de nombre Iransfiiii. 



