SÉANCE DU 28 DÉCEMBRE IQoS. I23l 



» La limite du champ d'intégrstion relatif à l'intégrale double peut 



comprendre une partie fixe arbitrairement choisie, et une partie variable 



(dépendant de x,y,z'). Cette dernière partie doit être définie pnr une 



équation de la forme 



(0 ^ = ?C'3?, r,-s, y-). 



la fonction «p étant telle que l'équation 0), quand on y regarde a, p comme 

 des constantes, définit une intégrale complète de l'équation aux dérivées 

 partielles des caractéristiques. Quant à l'élément d'intégrale, il comprend 

 une fonction arbitraire /(v., ^) et une intégrale primitii'e u{x, y, z, a, p) de 

 l'équation considérée, qu'on peut toujours supposer régulière dans un 

 domaine restreint des variables x, y, z. 



» Il saute alors aux yeux que, pour obtenir des intégrales à singularités 

 accidentelles, nous disposons : 1° de la partie fixe arbitraire de la limite 

 du champ d'intégration; 2" de la fonction arbitraire /(a, tî) à laquelle nous 

 pouvons attribuer telles singularités qu'il nous plaira. 



« Un exemple simple fera nettement comprendre le sens et la portée 

 de la méthode. Soit 



./■(^. P) 



[:i-..(x„, >•„, =0, a)]^ (8-'fo)' 



)) Intégrons d'abord, par rapport à ?, entre les limites |î„ = const. et 

 (3, = ol^x. y, z, 7.). Si l'on suppose u{x, y, z, a, S) développé en série 

 suivant les puissances de <^ — o^, 



on aura 



la fonction U étant, en général, régulière pour cp = Çj. 

 » Considérons maintenant les racines a de l'équation 



(^^) ?(-'^..i', z, 7.) — ?(.:r„, Jo, =0' «) = o- 



Soit a, l'une d'entre elles. Intégrons par rapport à a suivant un lacet 

 partant d'un point quelconque x„ et entourant le point a,. On obtient pour 



