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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Cniivergence des ra'licauv superposés pèriodirjues . 

 Noie de M. Patl Wiernsberger, iiréscntce par M. Appell. 



« Considérons l'expression y 2 ± y 2 zh. . .± y/2 formée de radicaux 

 superposés portant sur le nombre 2 et séparés par les signes 4- ou — ; 

 supposons ces signes au nombre i\c pq et se reproduisant périodiquement 

 dans le même ordre, de q en q. On voit facilement que celte expression 

 est égale au cùLc d'un polygone régulier ( ' ), de rayon i, d'ordre 2''^'^- et 

 dont l'indice a.j, satisfait à la relation 



en désignant par £,j le nombre +1 ou — r, suivant que le [7.'*'"' signe de la 

 période est + ou — . 



M II suit de là que, poury^ = ce, a^, tend vers une limite qu'il atteint par 

 valeurs croissantes ou décroissantes, si le nombre des signes négatifs de la 

 période est pair, ou par valeurs oscillantes si le nombre en est impair. 



Cette limite, dont a^, est d'ailleurs une valeur approchée à ^ , près, est 

 une fraction <^ - égale à 



27-1. 



.ri'/-2+. .. + =,£,...£,_ 



\a\ fraction irréductible i, qui lui est égale, a pour dénominateur un 

 nombre simplement pair et le côté a^ du polygone régulier, de rayon i et 

 d'indice /, satisfait à la relation 



.r = \/ 2 + £, \/2 + £. y 2 +...+£y., \l 1+ l^X . 



Tl en résulte que toute expression de la forme proposée, indéfiniment pro- 



(') La somme des angles d'un polygone régulier de n côtés élanl (« — ae)-, j'ap- 

 pelle /( son ordre, e son espèce et - <^ - son indice. 



