( 29 ) 

 que la géométrie (ou si l'on veut la trigonométrie) des 

 ligures tracées sur une surface développable est ia même 

 que celle des ligures tracées sur un plan, pourvu que Ton 

 remplace les lignes droites par les lignes géodésiques de 

 la surface développable, lignes géodésiques parmi les- 

 quelles se trouvent les génératrices reclilignes dans ce 

 cas particulier. 



Les surfaces dont la courbure moyenne constante est 

 positive peuvent s'appliquer de la même manière sur une 

 sphère, et leur géométrie est la même que celle de la sur- 

 face sphérique, les lignes géodésiques remplaçant les arcs 

 de grand cercle. 



Ces résultats sont connus , msffs il restait une lacune en 

 ce qui concerne la géométrie des surfaces dont la courbure 

 moyenne constante est négative. Elle vient d'être comblée 

 par M. Beltrami, professeur à l'université de Bologne (*), 

 qui a démontré que la géométrie euclidienne de ces sur- 

 faces, que j'appellerai, d'après lui, pseudosphères, est la 

 même que la géométrie non euclidienne du plan. 



A ce géomètre revient donc la priorité de cette décou- 

 verte (**) , que l'on doit considérer comme importante, 

 puisque la géométrie des surfaces en question se trouve 

 ainsi faite, tout d'une pièce, par les géomètres non eucli- 

 diens, et à leur insu. 



Ceci posé, et au risque d'être rangé au nombre de ces 

 calculateurs stériles dont parle Poinsot, qui vont après 



(*) Saggio d'interprelazione délia geometria non euclidea ;, Giornale 

 di matemaliche , t. VI, 1868; traduit par M. Hoùel et inséré dans les 

 Annales scientifiques de l'École normale supérieure, t. VI , 1869. 



( ¥¥ ) II y avait cependant sur les propriétés des surfaces pseudosphé- 

 riques quelques travaux antérieurs (pie M. Bel tr ami signale lui-même. 



