( 5§ ) 



le noyau de celte surface dont les nappes superposées 

 s'enroulent indéfiniment sur ce noyau. 



Alors, par des méthodes connues, on s'assurera très- 

 aisément : 



1° Qu'en chaque point de cette surface le produit des 

 rayons de courbure des sections principales est constant 

 et égal à — a 2 ( — parce que ces sections laissent le plan 

 tangent entre elles), d'où résulte qu'une partie quelconque 

 de cette surface peut glisser sur la surface par flexion , mais 

 sans extension , contraction , déchirure ni duplicature; 



2° Qu'entre deux points quelconques de celle surface 

 il existe une seule ligne géodésique, ou un seul plus court 

 chemin sur la surface, ce que l'on voit en amenant ces deux 

 points sur une môme ligne géodésique méridienne par le 

 glissement d'une portion de surface qui le contient. 



Cela suffît pour prouver que toute démonstration du 

 postuîatum sur le plan réussirait aussi sur la pseudojsphère 

 de révolution; or, là le principe des parallèles ne peut pas 

 exister puisqu'on voit clairement que toutes les lignes 

 géodésiques méridiennes sont asymptotes entre elles. 



La démonstration ainsi présentée ne peut soulever que 

 des objections de détail faciles à réfuter. 



Je me borne, en ce moment, à en rencontrer deux, 

 qui paraissent les plus importantes. 



1° On pourrait dire que le plan jouit d'une autre pro- 

 priété fondamentale que ne possède pas la pseudosphère , 

 le retournement. On répondra que le retournement n'est 

 jamais nécessaire dans la géométrie plane ; on l'emploie 

 quelquefois pour démontrer rapidement l'égalité de deux 

 figures, mais celte égalité peut toujours se démontrer 

 autrement. 



2 3 On pourrait dire que les lignes géodésiques ne sont 



