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 nues (*), outre l'avantage de n'employer que des construc- 

 tions planes et des quantités réelles, de se résumer en 

 quelques résultats simples et de conduire tout naturel- 

 lement aux applications mécaniques, celui de se prêter 

 mieux à l'interprétation des résultats, du moins en ce qui 

 concerne la géométrie plane. 



De cette interprétation résulte, comme le fait remar- 

 quer, avec raison, M. Hoiïel (**), qu'il est désormais im- 

 possible de démontrer le postulatum d'Euclide sans sortir 

 du plan, puisque, si l'on y parvenait, ce ne pourrait être, 

 à moins de cercle vicieux, que par l'emploi de propriétés 

 communes aux deux sciences euclidienne et non eucli- 

 dienne; dès lors la démonstration pourrait être répétée, 

 mot pour mot, dans la science euclidienne, sur les sur- 

 faces à courbure moyenne constante négative ou pseudo- 

 sphères, où elle conduirait, par conséquent, à une con- 

 clusion fausse, puisque la géométrie et la mécanique de 

 ces surfaces ne sont pas les mêmes que celles du plan. 



On voit donc qu'à l'avenir toute démonstration du 

 postulatum par la géométrie plane ou la mécanique des 

 systèmes plans peut être reléguée, sans examen, dans les 



(*) Lobatschewsky, cité dans mon mémoire précédent; Botyai, La 

 science absolue de V espace, traduit par M. Hoùel ; Battaglini , Comptes 

 rendus de l'Académie des sciences physiques et mathématiques de Naples, 

 juin 1867; Giornale di matematiche , t. V, p. 217, traduit par M. Hoùel et 

 inséré aux Nouvelles annales de mathématiques , 2 me série, t. VII , 1868. 



(**) Hoùel, Note sur V impossibilité de démontrer, par une construction 

 plane , le principe des parallèles dit postulatum d'Euclide; extrait des 

 Nouvelles annales de mathématiques, 2 me série, t. IX, 1870, p. 3. Ce 

 mémoire est aussi inséré sous une forme un peu différente dans les Procès 

 verbaux des séances de la Société des sciences physiques et naturelles 

 de Bordeaux; séance du 50 décembre 1869. (Voyez pp. 6 à 8 de cette 

 édition. ) 



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