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 faces à courbure moyenne constante et négative, appelées 

 pseudosphères par M. Beltrami. 



L'auteur pense, avec M. Houèl, que l'on peut tirer de là 

 cette conclusion qu'il est désormais impossible de démon- 

 trer le postulatum dans le plan , puisque celte démonstra- 

 tion serait également applicable sur une pseudosphère, 

 pour laquelle le postulatum n'a pas lieu. Cependant, si l'on 

 pouvait prouver qu'un quadrilatère formé de deux lignes 

 géodésiques et de deux équidistantes sur une surface à 

 courbure moyenne constante peut avoir quatre angles 

 droits, et cela ne semble nullement impossible, le postu- 

 latum serait démontré (1). 



Peu familier avec cette géométrie, ce n'est que sous tou tes 

 réserves que je fais cette objection, à l'appui de laquelle 

 semble venir toutefois la déduction que j'ai faite précé- 

 demment du postulatum au moyen delà cinématique plane. 



Il est vrai que par démonstration du postulatum l'auteur 

 semble entendre une démonstration tout à fait directe, 

 comme celle qui consisterait à prouver par construction 

 qu'une perpendiculaire et une oblique doivent se rencon- 

 trer; et, dans ce cas, la démonstration qu'il donne de l'im- 

 possibilité de celte preuve par construction, me semble 

 satisfaisante. 



Par son travail , M. De Tilly a apporté son contingent à 

 ces recherches qui méritent de fixer l'attention des philo- 

 sophes, et desquelles sortira un jour une démonstration du 

 postulatum qui convaincra les plus incrédules. 



(1) C'est ainsi, par exemple, que si la géométrie non euclidienne de la 

 sphère peut démontrer que les quatre angles d'un quadrilatère formé de 

 deux méridiens et de deux parallèles sont droits, on en déduira le postu- 

 latum dans le plan. 



