( 16) 

 une autre voie, mais qui ont été provoqués par ces recher- 

 ches sur le postulatum. 



Avant d'aborder l'examen du travail de M. De Tilly , je 

 crois d'abord devoir me prononcer catégoriquement contre 

 l'opinion émise par Lobatschewsky, et qui semble partagée 

 par M. Houël, que le postulatum d'Euclide serait faux; en 

 laissant de côté les démonstrations qui en ont été données 

 par Legendre et par notre savant confrère M. Lamarle , je 

 n'en veux d'autre preuve que celle qui est fournie par les 

 géomètres mêmes qui le nient. Ils conviennent, en effet, 

 que la trigonométrie sphérique est indépendante du postu- 

 latum, et que, si le plan pouvait être regardé comme coïn- 

 cidant rigoureusement avec une sphère d'un rayon infini, 

 le postulatum serait démontré; mais loin d'admettre l'iden- 

 tité du plan avec une sphère d'un rayon infini , ils ont été 

 jusqu'à donner à celle-ci le nom d'horisphère. Si on leur 

 répond que Poncelet a prouvé que l'enveloppe de l'espace 

 indéfini (enveloppe qui est bien certainement une sphère 

 d'un rayon infini) est un plan , ils diront que la démonstra- 

 tion de Poncelet repose implicitement sur le postulatum. 



Examinons donc directement ce que peut être une ho- 

 risphère : soit un plan horizontal, et deux sphères de 

 même rayon tangentes à ce plan en un même point, l'une 

 au-dessus, l'autre en dessous; pour qu'elles deviennent 

 des horisphères, il faut que leur rayon devienne infini ; or, 

 aussi longtemps que la sphère ne coïncide pas avec le plan , 

 je pourrai certainement en imaginer une autre, comprise 

 entre cette première et le plan , dont la courbure sera 

 moindre, et le rayon , par conséquent, plus grand; le rayon 

 de la première n'est donc pas infini. On n'arrive évidem- 

 ment à la limite que quand les deux sphères coïncident 

 entre elles et avec le plan ; et ici, comme partout, le pas- 



