DI NUMERI QUALUNQUE, ECC. 265 



mostra la (7) , sarà lecito, pur lasciando inalterate le B, di 

 fare nella (6') qualunque ipotesi su quelle quantità, Per 

 .9=1, detta uguaglianza, diviene 



mda?- x =(a i +d+Bd) m -{a l +Bd) m , <8) 



e da questa, col porre « 1 =0. oppure a l = — d, si ricavano 

 le altre due 



{B+l) m -B m = 0, (9 ) 



-{B-i) m +B m =(-i) m - l m m 



le quali poi sommate danno luogo all'altra più semplice 



(B + i) m -{B- /)'" = (- 1 )"'-' m , (i i ) 



che permette il calcolo ricorrente delle B, delle quali però 

 in seguito sarà data l'espressione generale. 



Ciascuna delle relazioni (9), (io) ed (il) mostra che 

 le B hanno un valore puramente numerico , indipendente 

 cioè da qualunque dato, e che varia solo con il loro indice. 

 I valori assoluti delle B sono i numeri hernulliani. Nella 

 relazione (9), e quindi anche nella (il) , il minimo valore 

 che può attribuirsi ad me 2, giacché il primo membro 

 della (8) è zero per ^=0 solo nel caso di m> 1. Dalla (io) 

 poi, per m=l, si ha— (B t — B )+B 1 = l, e quindi B =l. 



La (7) mostra che B p può avere un'infinità di valori, 

 corrispondenti agli infiniti valori che si possono attribuire 

 al numero" m intero, positivo e non minore di p (*). in 

 particolare per p = m — 1, la (7) dà 



(*) Il prof. A. Genocchi ha dato anche uno sviluppo di B n in funzione 

 di n e di un numero qualunque m maggiore n, intero e positivo. V. Annali 

 di Tortolini, 1852, pag. 398. 



