272 SULLA SOMMA DELLE POTENZE SIMILI 



cioè, mutando m in m+1, 



a m + (a+d) m +{a+-2d )"'-\-...-\-[a-V-{s—\)d] m 1 



e da questa, per a 1 = d=l, si ricava la nota proprietà 



l"'+2 m + 3 m -+- +s" ! 1 



lini— — n — — =— -, (s = co). 



In ultimo , se vuoisi far uso del calcolo integrale , si 

 può notare che derivando la (22') rispetto ad s si ha 



e quindi 

 da cui 



-£*!- = mdS m ^ + C m , 



OS 



S m = md I S m _iòs + sC m , 



- 



la costante che si dovrebbe aggiungere nel secondo mem- 

 bro è zero giacché tutti ì termini dell' uguaglianza supe- 

 riore sono nulli per 5=0. Se a i =d=J. si avrà 



s„, = m § s m _, às + sB m . 



i 



In quest' ultime due uguaglianze , non è necessario di cal- 

 colare le C le B coi metodi precedenti, giacché esse pos- 

 sono ricavarsi dalle medesime uguaglianze facendovi s=l, 

 dopo aver eseguita P integrazione. 



La seconda delle due ultime uguaglianze è stata anche 

 trovata, sotto forma poco differente dal sig. Luca* (l. e.) 

 e poi dopo, per altra via, dal sig. Ligowschi (Archiv. der 

 Mal. und Phis. 65, III. 1880). 



Catania, Aprile 1881. 



