262 Sugi' integrali delle equazioni della Dinamica 



Da quelle proprietà delle equazioni simultanee a derivate parziali 

 di primo ordine , le quali si riferiscono alla possibilità di soluzioni co- 

 muni e al numero di queste, si trae, quando si abbia riguardo alla for- 

 ma delle equazioni (4), (5), (6), (7), che problemi dinamici differenti 

 non possono ammettere più di 2//. — 2 integrali primi comuni distinti. 



Cerchiamo le condizioni necessarie e sufficienti, affinchè si abbiano 

 2p — 2 integrali primi comuni indipendenti dal tempo. Dalla forma 

 delle equazioni precedenti si vede che, per ottenere queste condizioni, 

 conviene esprimere che i coefficienti delle derivate parziali di F nel- 

 le (7'), (7") siano identicamente nulli, e che i coefficienti delle derivate 



d F 1 



parziali della stessa F nella (5), dove — = 0, e nella (7) siano pro- 

 porzionali. Si avrà adunque : 



Di qui si deduce dapprima : 



2i 9, * ' 9, 



Le quantità l LÌ / 2 , ... l li _ l non potranno dipendere esplicitamente 

 dal tempo, e per determinare /, si ha 1' unica equazione : 



dli , dlj . di, , n . 



j— 7 li ■+- j - ? 9- + • • • + j — r q a = 2 li , 

 dqS dq 2 ' dq^ *» 



cioè l tì Z 2 , ... ^_, sono funzioni di q n q,, ... q^ , q\ ... q'^, omo- 

 genee e di secondo grado rispetto a q' {ì q\, ... q' ^, onde si può porre: 



„ /, 9/ 9/ <M 



