FRA LE RETTE DI UNO SPAZIO ECC. 299 



2(m, + n,) (m^ + nj) cadono nei punii dove l'iperboloide è 

 toccato da una retta dell'una e da una retta dell'altra 

 congruenza. 



I rimanenti punti comuni alla curva Y, ed all'iperbo- 

 loide, sono in numero di 2(m, m^+n, n^) ed in ciascun di 

 essi coincidono insieme due punti corrispondenti ?„ e P'o. 

 Tali punti sono perciò distinti in coppie e per i due punti 

 di una di queste coppie passa una retta comune alle due 

 date congruenze. Concludiamo adunque che : 



Due congruenze di rette, non appartenenti ad un me- 

 desimo complesso, runa dell'ordine m, e della classe n,, 

 V altra dell'ordine m.^e della classe ii,, hanno m,m2 + n,n2 

 rette comuni. 



24. Date, nello spazio S^, due superfìcie non aventi 

 linee comuni, oltre le rette fondamentali, una volta deter- 

 minati r ordine e la classe di ciascuna delle congruenze 

 che loro corrispondono nello spazio S3, col teorema prece- 

 dente si potrà conoscere il numero delle rette comuni a 

 queste congruenze. Di tali rette, alcune potranno cadere 

 nelle faccie del triedro fondamentale AsBjCj (n'. 20 e 21 ) 

 ed altre cadranno fuori di esse. 11 numero di queste altre 

 sarà quello dei punti d'intersezione delle superficie date 

 fuori dagli spazi fondamentali. 



§ IV. 



25. Nello spazio S3 sia dato un complesso qualsivoglia 

 del grado m, il quale non abbia alcuna relazione partico- 

 lare col triedro fondamentale A^BA- Alle rette di questo 

 complesso corrisponderanno , nello spazio S^ , i punti di 

 una varietà vp3. 'à tre dimensioni. Ogni piano di S3 contiene 

 un inviluppo di classe m del complesso, epperò, ogni pia- 

 no di S^ , appoggiato alle rette fondamentali Aj, Bi , Ci , 

 taglia 4-3 secondo una curva d' ordine 2m la quale ha un 



