298 SULLA CORRISPONDENZA. UNIVOCA. 



Esistono cioè2(mj+nJ (m^ + n^) punti sull'iperboloide I, , 

 In ciascun de' quali questa superfìcie è toccata da una ret- 

 ta della prima e da una retta della seconda congruènza. 



Ciò posto , preso un punto qualunque P^ , in I^ , le 

 rette dalla prima congruenza passanti per esso tagliano di 

 nuovo Ig in m^ punti, e le rette della seconda congruenza, 

 passanti per questi m^ punti tagliano di nuovo I^ in m^mj, 

 punti P*o che assumeremo quali corrispondenti di P^ . È 

 chiaro che, viceversa, ad un punto P'^ corrispondono m^m^ 

 punti Po- 



Si trova allora facilmente che sopra ogni retta dello 

 iperboloide I^ vi sono m^ n^ + m^ ni +2 n^ n^ coppie di punti 

 corrispondenti e che sopra una retta dell' un sistema, del- 

 l'iperboloide, vi sono m, n^ + m^ nj + m^ m2+2 h^ n^ punti 

 ciascuno de' quali ha uno de' suoi corrispondenti sopra una 

 retta dell' altro sistema. Si trova infine , che sopra una 

 conica qualunque, della superfìcie esistono 2(mj-i-2ni) 

 (m2 4-2n2) coppie di punti corrispondenti P^ e P'^. 



Ora, siano V^ ed V'^ due punti arbitrari dell' iperbo- 

 loide I2 , Se da Vo proiettiamo la serie di punti P^ e da V\ 

 proiettiamo la serie dei punti P'^ , nasce una corrispon- 

 denza fra i raggi delle due stelle V^ , V'^ e, per ciò che è 

 detto precedentemente , il luogo di un punto nel quale si 

 taglino due raggi corrispondenti è una curva Y, dell' or- 

 dine 2 (mi-h2 ni)(m2 + 2 no)+2 m, m^ che passa conmiiiia 

 rami tanto per V^ che per W\. Questa curva sega I2 In 

 4(mj + 2 nj (m2 + 2 n2) + 4 m, nij punti dei quali 

 mjn^ sono riuniti in V» ed altri m^m^ in V'o; 

 Edi n.+ m^ nj + 2 n, n, giacciono in ciascuna retta dell' iper- 

 boloide passante per uno dei punti Vp e V'o, non contati 

 quelli che trovansi nei punti di contatto della superfìcie coi 

 piani tangenti passanti per la retta VoV',,; 

 m, n, 4- mj n, + mi m2H- 2 n, Uj sono riuniti in ciascuno dei 

 punti di contatto anzidetti ; 



