FRA LE RETTE DI UNO SPAZIO ECC. 297 



congruenza e può ancora interessare- per la risoluzione di 

 certi problemi relativi alle trasformazioni birazionali in un 

 medesimo piano. 



22. Accenniamo, infine, ai due casi particolari seguenti: 



a) Se una superficie <!>, dell'ordine]^, è data comun- 

 que in uno degli spazi fondamentali (B,C,), (CiA,) , (AiB,) , 

 ad essa corrisponde rispettivamente il sistema di tutte le 

 rette del piano Aj o del piano B, o del piano C2, ogni retta 

 da contarsi ^ volte. Infatti , una retta qualunque , ad es. 

 dello spazio (BiC,), appoggiata alle Bi,0, , taglia $, in /* 

 punti a ciascuno dei quali corrisponde una retta unica del 

 piano A, (n. 5, e)). Si può dire, in questo caso, che alla 

 superficie 'i>, corrisponde ^x. volte il piano A.. 



b) Ma se <i>, è una superficie composta di rette ap- 

 poggiate a due delle rette fondamentali A,, B,, C, , ad essa 

 corrisponde semplicemente un inviluppo della classe p, si- 

 tuato in una faccia del triedro AoBA- 



23. Proponiamoci ora il seguente problema: 



Date, nello spazio S3, due congruenze quali si voglia- 

 noj 1' una dell'ordine m^ e della classe n^ , l'altra dell'or- 

 dine m^ e della classe n, , e supposto che esse non appar- 

 tengono ad un medesimo complesso, qual'è il numero delle 

 rette comuni alle due congruenze ? 



In S3 assumiamo un iperboloide fisso I^, ad arbitrio, 

 e incominciamo dall' osservare che quelle rette di una con- 

 gruenza dell' ordine m e della classe n che toccano I^ , 

 hanno per linea di contatto una curva dell'ordine 2 (m-^n) 

 la quale incontra in m-+- n punti una retta di ciascun sistema 

 della superficie — Le due linee di contatto di I^ con rette 

 della prima e con rette della seconda delle date congruen- 

 ze hanno perciò in comune 2 (nij-i-n,) (m^-i-n^) punti (*). 



C) Ommettiamo per brevità il calcolo dei numeri qui enunciati 

 perchè il lettore potrà facilmente farlo da sé. 



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