102 Sopra sistemi di equazioni 



e che Z rappresenti la stessa funzione nei due sistemi (1. 1), (1), 

 mentre l^ sia una funzione qualunque di t, q^ , q^, ... q„, /a , pi , ■■■ p„ 

 distinta da /. Si dovrà avere identicamente : 



l-+iF,Z) = 0. 



Da questa e dalla (I, 3)^ sottraendo^ si ha: 



3F 



Ora il primo fattore del primo membro di quest'equazione per ipo- 

 tesi è essenzialmente differente da zero; perciò si deve avere: 



dF 



4=°- '^> 



{F,Z) = 0. (3) 



La (2) significa che una condizione necessaria, affinchè 1' equazio- 

 ne (I, 2) sia integrale comune ai due sistemi (I, 1), (1), è che f 

 non entri esplicitamente in F. Dunque: L' integrale, che contiene, espli- 

 citamente la variabile indipendente, non può essere comune ai due si- 

 stemi (I, 1), (1). La (3) esprime che gl'integrali comuni sono in nu- 

 mero di 2w— 1, e che essi sono le "In — 1 soluzioni dell'equazione 

 differenziale parziale di prim' ordine (3). Siccome poi, quando Tequa- 

 zione : 



F {q,, q, ... qn, }h, P, , •■• _/)„)=« 



è una soluzione comune ai due sistemi (I, 1), (1), la condizione 

 (I, 3), a causa delle (2) e (3), è identicamente soddisfatta, qualun- 

 que sia /, così si conclude che, data Z, i ^u — 1 integrali, che non 

 contendono esplicitamente t, e che convengono al sistema (I, 1) per una 

 particolare forma data di 1 , convengono allo stesso sistema per qual- 

 sivoglia altra forma data della funzione 1. 



