92 Sugi' integrali primi di secondo grado 



Così ogni qual volta l'espressione: 



(«Il X, + ... + a,nXn) rfa-, + ... + (a,u X, + ... + a„„.Y„) dx„ 



sia il differenziale esatto di una funzione F delle variabili indipen- 

 denti f, .Ti , iPj , ... Xa, V equazioni del moto si possono ridurre in 

 infiniti modi alla forma canonica, potendosi attribuire alle costanti 

 Ci, Ci, ... c„ valori particolari qualunque. 



Se F non contiene il tempo esplicitamente , il problema am- 

 mette, come si è veduto al § VII, l' integrale : 



U—F = lì ossia H=fì. 



D' altronde si sa che il sistema canonico (7) , in cui H sia una 

 funzione data qualunque, ammette o no V integrale H = costante, 

 secondochè H non contiene o contiene esplicitamente il tempo. 



§ XIV. 



Si formi r equazione differenziale parziale di prim' ordine : 



dS „/, dS dS dS\ - ... 



dove il secondo termine del primo membro è ciò che diviene la 

 funzione H, quando, invece di j), , p., , ... ^j„, vi sì sostituiscano rispet- 



tivamente r— , ;:^ , ... r— . Sia .S' una soluzione completa di que- 



dx, dx, cx,i 



st' equazione, contenente cioè, oltre una costante additiva arbitraria, 

 altre n costanti «„ a,„ ... a„ . I ^2n integrali delle equazioni del moto 

 saranno : 



dS 5S „ 



essendo /3,, A,, ••• /3„ nuove costanti arbitrarie. 



