90 Sugi' integrali primi di secondo grado 



Siano : 



d'xs 



= Xs (.s- = l, 2, ... n) (1) 



dt' 

 le equazioni del moto^ e supponiamo che si abbia: 



asi A, + a,.2 A, + ... + a.,,, A„ = ;r , Ui 



essendo F una funzione data di x^, x.2, ...x„, t. Supponiamo inoltre 

 che il determinante simmetrico D d' ordine n , formato coi coeffi- 

 cienti delle quantità A'^i , X^ , ... A'„ nei primi membri delle n equa- 

 zioni (2), non sia nullo. 

 Pongo : 



r= - (au x\ + ... -h 2ai2 x\ x\ -f ... -f 2f, x\ -|- ... -f 2c„ .r'„) (3) 



dV 



^rr=Ps- (4) 



Poiché D non è nullo, le espressioni delle ./■', in funzione delle p^, 

 sono le derivate di una stessa funzione m definita dalla relazione : 



u=^ — V+x\p,-\- x\p, + ... + x'„2}n + c, (5) 



essendo e una costante arbitraria , e intendendo che il secondo 

 membro di quest' ultima eguaglianza sia espresso per mezzo delle 

 ^., mediante le (4). Si ha perciò : 



Xs = 1^— (6) 



Pongo : 



Z7=-^(«U X'\ + ... -\-2ai2X\x,' -h ... +2an-i,n-ìc'n-iX'n) 



U, = c,.r', 4- e, .r', + ... + Cnx'„ , 



