88 Sugi' integrali primi di .secondo grado 



della linea A^ A A' A\ A^ . Ma evidentemente il secondo e il quar- 

 to degl' integrali del primo membro sono identicamente nulli , mentre 

 il terzo è uguale e di segno contrario all'integrale / ,, , ^Yrd.r,.. 

 Perciò : 



Onde : 



U' - U: =U ~ IT, + y.-V f YrdXr. 



Da ciò si deduce che l'aumento di V, nel passaggio del si- 

 stema dall'una all'altra di due configurazioni, le cui coordinate sod- 

 disfino rispettivamente alla (3) e alla (4), è costante , se la con- 

 nessione di prima specie dello spazio i? è semplice; ma non è, in 

 generale, costante, se questa connessione non è semplice, potendo, 

 in quest'ultimo caso, tale aumento, da due cammini a due altri, 

 differire di multipli di [) quantità costanti. 



§ XII. 



Se C/ e la forza viva T si esprimono per mezzo delle stesse 

 coordinate generali x^ , x^ , ... x,, e delle loro derivate x\ , x\ , ... a;'„ 

 rispetto al tempo, si vede che, mentre i coefficienti dei quadrati e 

 dei prodotti di x\ , x\ , ... x'„, due a due, sono in U polinomi di 

 secondo grado rispetto a a-,, a;^,... x„, in T i coefficienti potranno 

 essere di forme svariatissime, a seconda dei legami del sistema e 

 dello scelto sistema di coordinate generali, sicché le due espressioni 

 saranno, in generale, distintissime l'una dall'altra, com'è mostrato 

 anche dagli esempi del paragrafo precedente; e inoltre l'espressione 

 di U sarà molto particolare rispetto all' espressione , che può ge- 

 neralmente assumere T. Gli stessi esempi dati mostrano tuttavia 

 che in alcuni casi l'espressione di U può essere più generale deU'e- 

 spressione di 2\ Ciò avviene, p. es., nel problema del moto di un 

 sistema di punti liberi nello spazio , quando ?7 e T si esprimono 



