86 Sugi' integrali primi di secondo grado 



Poniamo per brevità: 



Yi = au X. -h rt,o A', -I- ... -+- a,n X„. 



Una combinazione delle equazioni (I, 1) del moto sarà: 



dU= Y, dx, + Fj dx, + ... + Y,, dx,,. (1) 



Perciò, senza supporre che il problema ammetta l'integrale 

 (VII, 1), e considerando le x^yX^, in virtù dell'equazioni integrali, 

 come funzioni dell' unica variabile indipendente t, si ha, indicando 

 con ?7„ il valore di U corrispondente a t = U\ 



U~ f/o= f\ (F, dx, + Y, dx, + ... -f r„ dxn). (2) 



Supponiamo che le X^, e per conseguenza anche le y,, siano fun- 

 zioni delle sole variabili Xi,x.i, ... x^- Noi possiamo ora immaginare 

 che le n quantità x^ siano le n coordinate di uno spazio S ad n 

 dimensioni_, e faremo uso delle definizioni e dei teoremi dati dal 

 prof. Betti nella sua memoria : Sopra gli spazi di un numero qua- 

 lunque (li dimensioni (1). Ciò premesso, noi considereremo soltanto 

 quella parte lì dello spazio S , nella quale tutte le X_, e le loro 

 derivate prime , e per conseguenza tutte le Y^ e le loro derivate 

 prime^ si conservino finite e continue, e che si ottiene, escludendo 

 neUa maniera nota, con opportuni spazi a 2, 3, ... n — 1 dimen- 

 sioni , gU spazi a 1, 3, ... w dimensioni, nei quaU le A',, o le loro 

 derivate prime non sieno finite e continue. Abbia lo spazio B la 

 sua connessione di prima specie dell'ordine /; + 1. Siano s, , s^ , ... s^, 

 le sezioni trasverse di w — 1 dimensioni , semplicemente connes- 

 se , che rendono semplice la connessione di prima specie. Siano 

 L, , L2 , ... L,. linee chiuse, in numero di^, che incontrano rispettiva- 



(1) Annali ili matematica diretti da F. Brioschi e L. Cremona, Serie II, T. Ili, pag. 

 140- 158. 



