84 Sugi' integrali primi di secondo grado 



Se poi si esclude la condizione che la forza attiva, che solle- 

 cita il mobile , sia funzione delle sole coordinate x, ij, z, ma si 

 ammette che tal forza possa anche essere funzione di x , ij , z , t, 

 Y equazione (2) sarà integrale del problema, tutte le volte che L, 

 M, N, considerate come funzioni delle variabili indipendenti x^ y, 

 z, x , y, z , t, soddisfino all'unica equazione: 



Z, .t' + .1/, ;/ + .V, z'^F {x, ij, z), 



e F potrà ora rappresentare una funzione qualunque delle tre va- 

 riabili indipendenti x, y, z, anche cioè non omogenea di grado zero. 

 Eziandio poi quando il problema non ammetta l' integrale (2), 

 si ha, secondo 1' osservazione generale fatta in fine del § VII : 



d 2 m^ \{xy' — x' y/ -h (y z' — i/ zf -t- (z x' — z'xy[ = L,dx -+- .1/, dy -+- iV, dz, 



onde 



1 i ) 



"2 m' ) r^ y' — a;' y)' -h fy z' — y' zY + {z x' — z' x)' { 



L ->"' ^ (x^ 11' — x' »/ ì^ -t- (il 7\ — il' ? V -I- ly. X — ?: . xy > 



m' ] {xo yo — oc'„yJ ' + («/, z'o — y\ z^)'' + (Zo *'» — z'o a-») ^ 



— I (L, d X ■+- M, d y + iV, d z). 



U integrale del secondo membro di quest' equazione esprime il la- 

 voro della forza fittizia G, che ha per componenti L, , M^ , N^ . 



Più generalmente il problema del moto libero d"un punto ma- 

 teriale ammette 1' integrale : 



— {a„x" 4- a,,y' -h a,, z"' -+■ 2a,,x'y' + 2a,, y'z + 2«3, z'x) = F{x, y,z) + lò, 



quando 1' espressione differenziale : 

 (rtii A' 4- a,2 Y -+- aa Z) dx + («21 A'+ «22 }'-+- Un Z) dy + («31 A' + a^i Y+ a-^ Z)dz (4) 



