82 Sugi' integrali primi di secondo grado 



spazio. Di poi immaginiamo per ciascun punto ni,, la forza attiva P,, 

 clie lo sollecita, la forza passiva (9 , che rappresenta 1' azione del 

 sistema sul inmto ///,,, e la risultante Q,, di queste due forze, cioè 

 la forza effettiva, la quale, agendo sola sul punto, supposto questo 

 liberato da ogni legame, basterebbe a comunicargli il moto che ha 

 realmente. Posto ciò, noi possiamo supporre che Xj , X2, .... A'„ 

 sieno le 31 componenti delle i forze Q,,, secondo gli assi, ciascuna 

 divisa per la massa del punto , a cui la forza stessa è applicata. 



Ora è evidente che quanto abbiamo dimostrato sugi" integrali 

 primi di primo e secondo grado rispetto alle x'^, continua a sussi- 

 stere anche, quando alle quantità .«., , X, si attribuisca quest'ultimo 

 significato. 



§ X. 



Si consideri il moto d' un sistema libero di punti. Sieno A', 

 Y, Z, L, M, N le somme della proiezioni delle forze sui tre assi 

 e le somme dei momenti delle forze stesse rispetto agli assi; e sia 

 in la massa di uno qualunque dei punti. Come caso particolare di 

 (VII, 3, 4) , si avrà che , quando tra le sei quantità X^ Y, Z, L, 

 M, iV sussista una relazione lineare omogenea a coefficienti co- 

 stanti qualunque : 



a A' + bY -+- cZ + pL -+- qM + ;-A" = 0, 



il problema ammette 1' integrale : 



«2 «i-»' -^ ^'2l1 '».'/' + t;S mz -l-yjS (yz'—y'z) +gS (^./■'— 2'.c) -^ rZ {xy'—xy)—^, 



che, per opportuna scelta delle costanti, fornisce gì' integrali pi-imi 

 delle aree e del moto del centro di gravità, e sul quale il Gerruti 

 richiamò l'attenzione dei geometri e diede importanti teoremi. 

 Un esempio semplicissimo d'integrali di secondo grado è : 



— (a„ x' ■' + a,, y' ' + a,, z"' + 2a„ .v y + ta,,, y' z -f- 2a,, z'x ) 

 = gia„x-ha,,y + a, ,z) + fi, 



