80 Stigl' integrali primi di secondo grado 



seeoiulo gnido l'ispettu alle ti vuiuujili .r, , e ^y x —^ ; cosi, 



detto -A^ il numero delle costanti indipendenti , che figurano nel- 

 l'integrale (1), quando F sia una funzione data , e non si compu- 

 tino fra queste costanti né quelle . che possono essere contenute 

 in /', né la costante arbitraria /?, si ha : 



^, ^ njn-biyin-i. 2) _ n' {n-hl){n-h2) _ w(w+l) (w+2) _ n jìi+lf {n-\-2) 

 ~ 4: 6 6 ~ 12 ■ 



Osserveremo infine che , nella stessa ipotesi riguardo ai coef- 

 ficienti dell'equazione (1), e ammettendo inoltre però che le com- 

 ponenti generaU A'^, delle forze possano essere funzioni anche delle 

 r'i , .t'j , ... a-'n, ^, la iDredetta equazione è un integrale del problema 

 più generalmente, ogni qual volta le quantità A'^., considerate come 

 funzioni delle variabili indipendenti ;ri , ... J^„ , .r', ,... ;r'„ , t, soddi- 

 sfino identicamente alU unica equazione : 



(«,, A', -f- ... -4- ili,, Xn) .r , ■+- ... -t- (a„i X, +...-+- fl„„ A'„) a?'„ 

 3F , $F , 



Nelle stesse ipotesi precedenti riguardo ai polinomi «„ , e 

 senza supporre che il problema ammetta l'integrale (1), e se inoltre 

 le quantità x^ , x^,...x,i, x\,...x'„, in virtù dell'equazioni integrafi, si 

 considerano come funzioni dell'unica variabile indipendente f, si ha : 



dU= (rt,, A', -I- ... + rt,„ A'n) + ... + (a„i A'i -i- ... + a,,,, A'„) da-„; 

 onde, indicando con U„ il valore di f/ per f=f„'- 



.4 , , 



U— Uo= I , (rti, A, +...-+- rti„ A„) dxi ■+ ... -I- {ani A, -4- ... -i-- n„„X„) dx^y 



§. vili. 



Nel caso generale, dati i pofinomi a,,. , e,., tra i cui coefficienti 

 (l'rs, a'U A^^, Cr, yt, supposti funzioni del tempo, sussistano le rela- 



