rispetto alle cìerivafe delle coordinate ììcì prohìemi della meccanica 79 



Qui /Se? sono costanti tali che si al)l)ia : 



/3 + > = «. 



Tenendo ferme le stesse ipotesi , 1' equazione (I, !2) è dunque un 

 integrale del problema , sol quando sieno soddisfatte a un tempo 

 tanto le condizioni, che sono necessarie e sufficienti, afthichè la (1) 

 sia integrale di quel problema, quanto quelle necessarie e sufficienti 

 affinchè la (^D sia integrale dello stesso problema. 



Per quanto abbiamo veduto nel paragrafo precedente, 1" ec^ua- 

 zione (i^) non può essere integrale primo del problema , a meno 

 che non abbia la forma seguente : 



^.yliXrX's — X'r .Ts) + ZOr .1'' r = 7, (3) 



essendo %, Cr costanti qualunque. La (3) si deduce dalla (V, 8), 

 supponendo costanti le quantità (',., //. La condizione necessaria e 

 sufficiente , affinchè la (3) sia un integrale primo del problema, è 

 che fra le componenti generali delle forze sussista la relazione li- 

 neare omogenea : 



Le condizioni , perchè V equazione (1) sia integrale d'un pro- 

 blema, sono che i coefficienti dei polinomi a,., , di secondo grado 



rispetto aUe x, , soddisfino alle " '"^ g — - condizioni (IV, 3 ) , 



alle ^(^+^Hw+2) (,Qj^(j|2Ìoni (IV, 4), e che inoltre le componenti 



generali delle forze sieno tali, che 1' espressione : 



(a,, X, -f a„ X, + ... H- a,„ A'„) da\ -f ... -f («,a A', + ... -h rt„„ X„)dxn (5) 



sia il differenziale esatto defia funzione F {x^ , x^ , ... ./•„). 



Siccome il numero totale dei coefficienti ( supposti tutti diffe- 



Vi ( ti I 1 I 



renti da zero e indipendenti) degli — ^ — polinomi completi o„ , di 



