Sugi' integrali primi di secondo grado 



Qui le quantità b^, B^,, sono determinate, appena che si cono- 

 scano i vincoli del sistema, e non dipendono dalle componenti, se- 

 condo gli assi, delle forze^ che sollecitano i punti del sistema, men- 

 tre le c|uantità Mr contengono linearmente ciueste stesse componenti. 

 Le quantità B^^, sono funzioni di x^, x.^, ... Xn,t, e le èj sono fun- 

 zioni intere di secondo grado rispetto alle cjuantità xi , xi , ... x „ con 

 coefficienti funzioni di ,r, , r^ , ... .r„, ^. Se i legami del sistema sono 

 indipendenti dal tempo, le B,.^ , b^ , com' è noto , non contengono 

 esplicitamente il tempo, e inoltre b^ è omogenea rispetto alle c[uan- 



LI Ld «*'i* '*^2j *■* II' 



Risulta da ciò che ogni relazione lineare rispetto alle compo- 

 nenti generali delle forze, p. es. la condizione (V, 9), si può tra- 

 sformare in un'equazione lineare rispetto alle quantità M^, M^, ... M^, 

 o, se si vuole, rispetto alle componenti, secondo gli assi, delle forze 

 applicate ai singoli punti del sistema. 



§ VII. 



Ritornando agl'integrali di secondo grado, contenuti nell'equa- 

 zione generale (I, 2) , aggiungiamo all' ipotesi del § I quest' altra 

 ipotesi, che cioè essi non contengano esplicitamente il tempo. Con- 

 sideriamo cioè il caso particolare che il tempo non figuri esplici- 

 tamente né nei coefficienti dei polinomi «„ , c^ (IV, 1, 2), né nella 

 funzione F. Saranno allora costanti non solo le quantità «"« , se- 

 condo (IV, 5), ma altresì le quantità ari, ^rs , c'r, '^'r, Cr. Se, in 

 quest'ipotesi, l'equazione (1) è un integrale del problema, si deduce 

 dalle (I, 3-6) che esso è la somma dei seguenti due integrafi dello 

 stesso problema, 1' uno di secondo, l' altro di primo grado rispetto 

 afie coordinate generafi del sistema : 



Y (rt,i.T,"-|-flj, .-r,"+ ... +2a,.,x\ JL-\ -+- ... + 2a„.,,nX'n.iX'n) 



= F {x,,.r,, ... .T„) + /3, (1) 



C,X\ -+■ (•,.<■■, +... -+- CnXn = ->. (2) 



