riiipetfo alle derivate delle coordinate nei problemi della meccanica 77 



essendo <j{f) una funzione arbitraria di f. Avendo dunque riguardo 

 allo relazioni (I), (3), (4), (6), (7). che si hanno nel presente caso, 

 e alla (IV, "2), e ponendo: 



a 



la (I, 2) diviene: 



dC 



Hy^^iXrX's — x'rXs) + S CrX'r = ^-^^Xr + g(.() + '^i . (8) 



Quest'equazione, nella quale le quantità T-^' sono costanti, le CV, 

 g{f) sono funzioni qualunque di f, e «i è costante arbitraria, costi- 

 tuisce un integrale primo del problema, ogni qual volta le componenti 

 generali delle forze soddisfino all'equazione di condizione: 



s >; ( xr a; - xs X,. ) + s a. a;. = s '^ «., + |' . (9) 



L' equazione (8) rappresenta l' integrale primo più generale di 

 primo grado rispetto alle derivate delle coordinate generali, che 

 possa . convenire a un problema del moto d' un sistema, nell'ipotesi 

 che le componenti generali delle forze siano funzioni delle coordi- 

 nate generali del sistema, e possano contenere il tempo anche espli- 

 citamente. 



§ VI. 



Se le componenti generali delle forze, invece di essere funzio- 

 ni delle sole coordinate generali, sono altresì funzioni delle derivate 

 di queste coordinate rispetto al tempo, può avvenire che la (V, 9) 

 sia nondimeno identicamente soddisfatta, qualunque siano i valori 

 Xi,x^, ...Xn,x^'^ ....x„',t. Quando ciò avvenga, l'equazione (V, 8) 

 è evidentemente un integrale del problema. 



Nell'equazioni (I, 1) si ha: 



A' 



2 ^r.. Mr 



