Sugi' integrali primi di necondo grado 



da cui risulta che le quantità Uij sono polinomi razionali interi di 

 secondo grado rispetto a x^, x^, ... x„. 



Il caso, in cui n è uguale ad n, essendo n' < 5, si può con- 

 siderare come contenuto nel caso generale, in cui sia n = in , es- 

 sendo m non minore di 5. Basta per questo immaginare che gl'in- 

 dici delle quantità x^ , </,,, possano prendere anche i valori mag- 

 giori di n' e non maggiori di m, purché le nuove quantità Urs, che 

 così s' introducono, si suppongano identicamente nulle , e le anti- 

 che quantità «„ si considerino indipendenti dalle nuove variabili 

 .'/■^, i cui indici siano maggiori di «' e non maggiori di m. È evi- 

 dente che, se nella relazione ( I , 8 ) a qualcuno degi' indici si at- 

 tribuisce un valore maggiore di w', e non maggiore di m, ogni ter- 

 mine della stessa relazione sarà identicamente nullo. Perciò fra 

 tutte le quantità r/„ , in cui r, s siano due numeri eguali o disu- 

 guali della serie 1, 3, ... m , sussisteranno le relazioni (I, 3), e 

 quindi anclie tutte le relazioni del presente paragrafo , sicché si 

 conclude che, anche se w < 5 , le quantità «„ sono polinomi ra- 

 zionali interi di secondo grado rispetto a x^, x, , ... x„. 



III. 



Dalle (I, 3, 4) si deduce facilmente che anche le quantità e,. 

 sono , rispetto alle ./„ , polinomi razionali interi di secondo grado. 

 Infatti derivando le (I, 3, 4), si ha : 



d'Cr S'Cs d'ars p, 



dxs dx'' dxi dx,. dxh dx, df dx/, dx 



dXh d.Vs dxì dxr dxs 9.r, dt d.Vs dXi 



dxii, dXr dXi dxs dxr d,r,i dt dXr dxc 



e cirs d a^ìi. d a/ir 



0, 



0, 



dt dxii Sx( dt dXr dXi dt dXs dxt 



= 0. 



