68 Sugi' integrali primi di secondo grado 



deve avere un' equazione di primo o secondo grado rispetto alle 

 derivate delle coordinate generali, affinchè essa sia integrale d' un 

 problema. Osservo che queste equazioni possono essere integrali 

 d' un problema, eziandio quando le X, siano funzioni, oltreché 

 delle .Ti, x^,... x„ , anche delle derivate x\, x\, ... .r'„, e conten- 

 gano pure esplicitamente il tempo. Ritrovo per integrali di secondo 

 grado, che possono essere distinti dall'integrale delle forze vive, qual- 

 che proprietà, che ha analogia con le note proprietà di quest' ul- 

 timo integrale, e riduco 1' equazioni del moto alla forma canonica 

 di Hamilton in casi, in cui può anche non esistere una funzione 

 delle forze. 



I. 



Cerchiamo le condizioni che sono necessarie e sufficienti, af- 

 finchè, nell'ipotesi che le X, siano funzioni delle sole coordinate 

 generali, oltreché funzioni esphcite del tempo^ il sistema delle equa- 

 zioni del moto : 



^ = a; (s = 1, 2, ... n) (1) 



ammetta un integrale primo della forma : 



.t(«ii ^,' ' + ■•.+ a„n .Tu'' -t- 2«,j ir\ x',-\-2a,^ x\ x\ + ... 4-2a„_i,„ x'n-i a-'n 



+ 2c, a?', + .. . +2c„ x'n ) = F{t ,x,,x,,...Xn)-h a , (2) 



dove si ha : 



dxs 

 dt 



X s , } (Irs — ^sr } 



e in cui le quantità a,.^, e, sono funzioni di jj , x^ , ... x„ , e pos- 

 sono contenere pure il tempo esplicitamente, mentre a è una co- 

 stante arbitraria. 



