Sugi' inteyraìì comuni a pia .■ii.stemi di equazioni ecc. 3 



mediante le note condizioni d' integrabilità, fornite dalla teoria delle 

 equazioni differenziali parziali simultanee di prim' ordine. Se nel 

 sistema (8), (9), e contemporaneamente nelle (5), in luogo delle 

 quantità k,., /,. , si sostituiscono funzioni delle variabili indipendenti 

 f, ;/,, I/.2, ■■■ i/,„ , tali clie il sistema (8), (9) ammetta // soluzioni, queste 

 soluzioni converranno agl'infiniti sistemi (1), i cui secondi membri, 

 considerati come funzioni delle variabili indipendenti /, //, , //,,... ij,,,, 

 soddisfino alle condizioni (5), o, ciò che è lo stesso, converranno a 

 tutti i sistemi {"2), i cui secondi membri soddisfino alle condizioni (6). 



Supponiamo, p. es., che i due sistemi (1), (2) ammettano m — 1 

 integrali comuni, e consideriamo dapprima in particolare i due casi, 

 sebbene estremamente semplici, in cui gli m—i integrali non con- 

 tengano una delle variabifi y^, ovvero t. 



Nel primo caso si ha : 



ày, %, 



cioè tutti i possibili sistemi, che hanno m— 1 integrali comuni, non 

 contenenti ij^, sono compresi nel sistema: 



dyr+i 



-^ = ■*!('' ^1 ' y^,-—yni) , 



= Yr+i {t, y,, y,,... ym), {r = ì, 2,... ni — 1) 



dt 



differendo un sistema dall'altro soltanto per la prima equazione. 

 In particolare, se m^='ìn , e si pone: 



yn+i = Pi, ( «■ = 1 , 2 , ... « ) , (10) 



il sistema (1) non può ammettere il sistema dei 2« — 1 integrafi, 

 non contenenti esplicitamente y^, in comune col sistema canonico: 



(2 = 1, 2,... il) (11) 



